箱Aには赤玉3個、白玉2個、箱Bには赤玉3個、白玉1個が入っている。A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、空の箱Cに入れる。 (1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求める。 (2) 箱Cから1個取り出したとき、それが赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

箱Aには赤玉3個、白玉2個、箱Bには赤玉3個、白玉1個が入っている。A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、空の箱Cに入れる。

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求める。

(2) 箱Cから1個取り出したとき、それが赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求める。箱Cに赤玉が含まれるのは、少なくとも1個の赤玉がAまたはBから選ばれる場合である。

Aから赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$。

Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{4}$。

箱Cに赤玉が含まれない確率は、AからもBからも白玉を取り出す確率に等しい。

Aから白玉を取り出す確率は $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$。

Bから白玉を取り出す確率は $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。

AからもBからも白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。

箱Cに赤玉が含まれる確率は $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$。

または、

(i) Aから赤玉を取り出し、Bから白玉を取り出す確率: $\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$

(ii) Aから白玉を取り出し、Bから赤玉を取り出す確率: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$

(iii) Aから赤玉を取り出し、Bから赤玉を取り出す確率: $\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$

箱Cに赤玉が含まれる確率は $\frac{3}{20} + \frac{6}{20} + \frac{9}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$。

(2) 箱Cから1個取り出したとき、それが赤玉である確率を求める。

箱Cに2個の玉が入っており、そのうちの1個が赤玉である確率を求める。

箱Cに赤玉が含まれる確率が $\frac{9}{10}$ であることがわかっている。

箱Cに赤玉が2個入っている確率（AからもBからも赤玉を取り出す確率）は $\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$。

箱Cに赤玉が1個入っている確率（A, Bのどちらか一方から赤玉を取り出す確率）は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20} + \frac{6}{20} = \frac{9}{20}$。

箱Cから赤玉を取り出す確率 = (箱Cに赤玉が2個の場合の確率 × 1) + (箱Cに赤玉が1個の場合の確率 × 1/2) = $\frac{9}{20} \times 1 + \frac{9}{20} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{20} + \frac{9}{40} = \frac{18}{40} + \frac{9}{40} = \frac{27}{40}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{10}$

(2) $\frac{27}{40}$