1から7までの数字が書かれたカードが2枚ずつ、合計14枚ある。この中から同時に3枚を取り出すとき、以下の確率をそれぞれ求めよ。 (1) 3枚とも偶数となる確率 (2) 3枚とも4以上となる確率 (3) 3枚のうち2枚が同じ数字である確率 (4) 3枚の数字が連続した3つの整数となる確率 (5) 3枚の数字の和が7となる確率

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれたカードが2枚ずつ、合計14枚ある。この中から同時に3枚を取り出すとき、以下の確率をそれぞれ求めよ。

(1) 3枚とも偶数となる確率

(2) 3枚とも4以上となる確率

(3) 3枚のうち2枚が同じ数字である確率

(4) 3枚の数字が連続した3つの整数となる確率

(5) 3枚の数字の和が7となる確率

2. 解き方の手順

まず、カードの総数は14枚なので、3枚を取り出す場合の総数は、

${}_{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$ 通り

これが確率の分母となる。

(1) 偶数は2, 4, 6の3種類で、それぞれ2枚ずつあるので、偶数のカードは合計6枚ある。

この中から3枚を取り出す場合の数は、

${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

よって、確率は $\frac{20}{364} = \frac{5}{91}$

(2) 4以上の数は4, 5, 6, 7の4種類で、それぞれ2枚ずつあるので、4以上のカードは合計8枚ある。

この中から3枚を取り出す場合の数は、

${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ 通り

よって、確率は $\frac{56}{364} = \frac{14}{91} = \frac{2}{13}$

(3) 3枚のうち2枚が同じ数字である場合を考える。

まず、どの数字を2枚選ぶかを選ぶ。1から7までの7種類の数字から1つ選ぶので、7通り。

次に、残りの1枚を選ぶ。残りの12枚から1枚選ぶので、12通り。ただし、既に選んだ数字のカードは除かなければならない。

したがって、その数字以外の6種類の数字から2枚ずつ、合計12枚ある。

${}_6C_1 \times 2 = 12$通り。

選んだ数字が2枚、残りの1枚は別の数字なので、この場合の数は $7 \times 12 = 84$通り。

よって、確率は $\frac{84}{364} = \frac{21}{91} = \frac{3}{13}$

(4) 連続する3つの整数となるのは、(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7)の5パターン。

それぞれの数字は2枚ずつあるので、各パターンにおいて、3枚を選ぶ方法は $2 \times 2 \times 2 = 8$通り。

よって、確率は $\frac{5 \times 8}{364} = \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$

(5) 3枚の数字の和が7となる組み合わせを考える。

(1, 2, 4)の場合、 $2 \times 2 \times 2 = 8$通り

(1, 3, 3)の場合、 $2 \times {}_2C_2 = 2 \times 1 = 2$通り

(2, 2, 3)の場合、 ${}_2C_2 \times 2 = 1 \times 2 = 2$通り

よって、確率は $\frac{8 + 2 + 2}{364} = \frac{12}{364} = \frac{3}{91}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{91}$

(2) $\frac{2}{13}$

(3) $\frac{3}{13}$

(4) $\frac{10}{91}$

(5) $\frac{3}{91}$