母集団の平均 $\mu = 22.4$、標準偏差 $\sigma = 5$ から、大きさ $n = 100$ の標本を無作為抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ が 22 より小さい値をとる確率 $P(\bar{X} < 22)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

母集団の平均 $\mu = 22.4$、標準偏差 $\sigma = 5$ から、大きさ $n = 100$ の標本を無作為抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ が 22 より小さい値をとる確率 $P(\bar{X} < 22)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{X}$ の分布を考えます。母集団が正規分布に従うかどうかは明記されていませんが、標本の大きさ $n=100$ が十分に大きいため、中心極限定理より、標本平均 $\bar{X}$ は近似的に正規分布に従うとみなせます。

$\bar{X}$ の分布は、平均 $\mu_{\bar{X}} = \mu = 22.4$、標準偏差 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5$ の正規分布 $N(22.4, 0.5^2)$ に従います。

(2) $\bar{X}$ を標準化します。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 22.4}{0.5}$

(3) 求める確率を標準正規分布で表します。

$P(\bar{X} < 22) = P(\frac{\bar{X} - 22.4}{0.5} < \frac{22 - 22.4}{0.5}) = P(Z < \frac{-0.4}{0.5}) = P(Z < -0.8)$

(4) 標準正規分布表を用いて $P(Z < -0.8)$ を求めます。標準正規分布表では、$P(0 \le Z \le z)$ の値が与えられていることが多いので、それを利用します。

$P(Z < -0.8) = P(Z > 0.8) = 0.5 - P(0 \le Z \le 0.8)$

標準正規分布表より、$P(0 \le Z \le 0.8) \approx 0.2881$ です。

したがって、$P(Z < -0.8) = 0.5 - 0.2881 = 0.2119$

3. 最終的な答え

標本平均 X が 22 より小さい値をとる確率は、約 0.2119 です。