以下の4つの組み合わせの問題を解きます。 (1) 男子4人、女子6人の中から、5人の委員を選ぶとき、男子2人、女子3人を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 男子9人、女子3人の中から、4人の代表を選ぶとき、男子3人、女子1人を選ぶ方法は何通りあるか。 (3) 男子3人、女子7人の中から5人の委員を選ぶとき、特定の2人が含まれる方法は何通りあるか。 (4) 6本の平行線と、これらに交わる7本の平行線によってできる平行四辺形は、何個あるか。

1. 問題の内容

以下の4つの組み合わせの問題を解きます。

(1) 男子4人、女子6人の中から、5人の委員を選ぶとき、男子2人、女子3人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 男子9人、女子3人の中から、4人の代表を選ぶとき、男子3人、女子1人を選ぶ方法は何通りあるか。

(3) 男子3人、女子7人の中から5人の委員を選ぶとき、特定の2人が含まれる方法は何通りあるか。

(4) 6本の平行線と、これらに交わる7本の平行線によってできる平行四辺形は、何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人、女子3人をそれぞれ選ぶ組み合わせの数を掛け合わせます。

男子4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2$ 通り。

女子6人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$ 通り。

したがって、求める場合の数は、

${}_4 C_2 \times {}_6 C_3 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 20 = 120$

(2) 男子3人、女子1人をそれぞれ選ぶ組み合わせの数を掛け合わせます。

男子9人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$ 通り。

女子3人から1人を選ぶ組み合わせは ${}_3 C_1$ 通り。

したがって、求める場合の数は、

${}_9 C_3 \times {}_3 C_1 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 84 \times 3 = 252$

(3) 特定の2人を含む場合、残りの3人を男子3人と女子7人の合計10人から選びます。ただし、男子3人、女子7人の中に特定の2人が含まれているので、残りの3人を選ぶのは、残りの8人から3人を選ぶことになります。

残りの8人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_8 C_3$ 通り。

したがって、求める場合の数は、

${}_8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(4) 平行四辺形を作るには、6本の平行線から2本を選び、7本の平行線から2本を選べば良いです。

6本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_2$ 通り。

7本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは ${}_7 C_2$ 通り。

したがって、求める場合の数は、

${}_6 C_2 \times {}_7 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 15 \times 21 = 315$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 252通り

(3) 56通り

(4) 315個