数直線上の原点にある点Pに対して、コインを投げて表が出れば2、裏が出れば1だけ正の方向に進める。 n回コインを投げたときに点Pが座標nに止まる確率を $p_n$ とする。 (1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。 (2) $p_{n+2}$ を $p_{n+1}, p_n$ を用いて表せ。 (3) $p_n$ を求めよ。

## 問題28

1. 問題の内容

数直線上の原点にある点Pに対して、コインを投げて表が出れば2、裏が出れば1だけ正の方向に進める。

n回コインを投げたときに点Pが座標nに止まる確率を $p_n$ とする。

(1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。

(2) $p_{n+2}$ を $p_{n+1}, p_n$ を用いて表せ。

(3) $p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $p_1, p_2, p_3$ について

* $p_1$: 1回で座標1に止まるのは裏が出る場合のみなので、$p_1 = \frac{1}{2}$。

* $p_2$: 2回で座標2に止まるのは、2回とも裏が出るか、1回表が出て1回裏が出るかのいずれか。しかし、表が先に出ると座標は3になり、2には止まらない。そのため、2回裏が出た場合のみなので、$p_2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。

* $p_3$: 3回で座標3に止まるのは、表1回、裏2回出る場合か、裏3回出る場合。

* 裏3回の場合: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

* 表1回、裏2回の場合: 並び順は、(表, 裏, 裏), (裏, 表, 裏), (裏, 裏, 表)の3通り。それぞれの確率は$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。したがって、$3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

よって、$p_3 = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(2) $p_{n+2}$ を $p_{n+1}, p_n$ で表す

座標n+2に止まるには、n+1に止まって裏が出るか、nに止まって表が出るかのどちらか。

したがって、$p_{n+2} = \frac{1}{2}p_{n+1} + \frac{1}{2}p_n$

(3) $p_n$ を求める

$p_{n+2} = \frac{1}{2}p_{n+1} + \frac{1}{2}p_n$を変形する。

$p_{n+2} - p_{n+1} = -\frac{1}{2}(p_{n+1} - p_n)$

これは等比数列なので、$p_{n+1} - p_n = (p_2 - p_1)(-\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})(-\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{4}(-\frac{1}{2})^{n-1}$

$p_n = p_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (p_{k+1} - p_k) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{4})(-\frac{1}{2})^{k-1} = \frac{1}{2} -\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{2})^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{2})^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-2} (-\frac{1}{2})^k = \frac{1-(-\frac{1}{2})^{n-1}}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{1-(-\frac{1}{2})^{n-1}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(1-(-\frac{1}{2})^{n-1})$

$p_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}(1-(-\frac{1}{2})^{n-1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}(1-(-\frac{1}{2})^{n-1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}(-\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{1}{2}, p_2 = \frac{1}{4}, p_3 = \frac{1}{2}$

(2) $p_{n+2} = \frac{1}{2}p_{n+1} + \frac{1}{2}p_n$

(3) $p_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n$