## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

**1.** 子ども3人と大人2人が1列に並ぶときの並び方について、以下の条件を満たす場合の数を求める。

(1) 特定の大人Aと特定の子どもBが隣り合う。

(2) 子どもは子ども、大人は大人でそれぞれ続いて並ぶ。

**2.** 高校生4人と中学生6人の中から4人を選ぶときの選び方について、以下の条件を満たす場合の数を求める。

(1) すべての選び方

(2) 高校生2人、中学生2人を選ぶ。

(3) 特定の2人AとBが含まれる。

(4) 高校生が少なくとも1人含まれる。

**3.** 異なる9枚の色紙を分けるときの分け方について、以下の条件を満たす場合の数を求める。

(1) 3枚ずつ3人に分ける。

(2) 3枚ずつ3組に分ける。

**4.** 7つの文字 a, b, c, d, e, f, g をすべて使って1列に並べるときの並べ方について、以下の条件を満たす場合の数を求める。

(1) bがdより右側にある。

(2) a, c, e, g がこの順に並ぶ。

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2. 解き方の手順

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1. 子どもと大人の並び方**

(1) 特定の大人Aと特定の子どもBが隣り合う場合：

まず、AとBを1つの組として考えます。この組と残りの子ども2人と大人1人の計4つを並べる方法は $4!$ 通りあります。さらに、AとBの並び順はABとBAの2通りあります。

したがって、$4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$ 通り。

(2) 子どもは子ども、大人は大人でそれぞれ続いて並ぶ場合：

子どもの並び方は $3!$ 通り、大人の並び方は $2!$ 通り。そして、子どものグループと大人のグループの並び方は2通り（子どもが先か、大人が先か）。

したがって、$3! \times 2! \times 2 = 6 \times 2 \times 2 = 24$ 通り。

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2. 高校生と中学生の選び方**

(1) すべての選び方：

10人から4人を選ぶので、$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2\times1} = 210$ 通り。

(2) 高校生2人、中学生2人を選ぶ：

高校生4人から2人を選ぶ方法は $_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$ 通り。

中学生6人から2人を選ぶ方法は $_{6}C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6\times5}{2\times1} = 15$ 通り。

したがって、$6 \times 15 = 90$ 通り。

(3) 特定の2人AとBが含まれる：

AとBの組み合わせは、(A,B) = (高校生,高校生), (高校生,中学生), (中学生, 中学生) の3パターン。

* (A,B) = (高校生,高校生)の場合: 残りの2人は8人から選ぶので、$_{8}C_2 = 28$通り。

* (A,B) = (中学生,中学生)の場合: 残りの2人は8人から選ぶので、$_{8}C_2 = 28$通り。

* (A,B) = (高校生,中学生)の場合: 残りの2人は8人から選ぶので、$_{8}C_2 = 28$通り。

したがって、２８通り。

(4) 高校生が少なくとも1人含まれる：

全体の選び方から、高校生が1人も含まれない場合（全員中学生）の選び方を引く。

全員中学生の選び方は $_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6\times5}{2\times1} = 15$ 通り。

したがって、$210 - 15 = 195$ 通り。

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3. 色紙の分け方**

(1) 3枚ずつ3人に分ける：

まず、9枚から3枚を選んで1人目に渡す方法は $_{9}C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9\times8\times7}{3\times2\times1} = 84$ 通り。

次に、残りの6枚から3枚を選んで2人目に渡す方法は $_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} = 20$ 通り。

最後に、残りの3枚を3人目に渡す方法は $_{3}C_3 = 1$ 通り。

したがって、$84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り。

(2) 3枚ずつ3組に分ける：

3人に分ける場合と違い、組に区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、$1680 / 3! = 1680 / 6 = 280$ 通り。

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4. 文字の並べ方**

(1) bがdより右側にある：

7つの文字を並べる方法は $7! = 5040$ 通り。bとdの位置関係を考えると、bがdより右にある場合と、dがbより右にある場合は同数である。したがって、全体の半分がbがdより右にある場合なので、$5040 / 2 = 2520$ 通り。

(2) a, c, e, g がこの順に並ぶ：

a, c, e, g を同じ文字 ○ と考えて、○, ○, ○, ○, b, d, f の7つの文字を並べる方法を考える。

これは $\frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り。

並べた後、左から順にa, c, e, gを割り当てれば、a, c, e, g がこの順に並ぶ並び方が得られる。

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3. 最終的な答え

**1.**

(1) 48通り

(2) 24通り

**2.**

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 28通り

(4) 195通り

**3.**

(1) 1680通り

(2) 280通り

**4.**

(1) 2520通り

(2) 210通り