A, Bの2つのチームが試合を行い、先に4勝したチームが優勝する。各試合において、両チームの勝つ確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$であり、引き分けはないものとする。 (1) 4試合目で勝負が決まる確率を求めよ。 (2) 6試合目で勝負が決まる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, Bの2つのチームが試合を行い、先に4勝したチームが優勝する。各試合において、両チームの勝つ確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$であり、引き分けはないものとする。

(1) 4試合目で勝負が決まる確率を求めよ。

(2) 6試合目で勝負が決まる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4試合目で勝負が決まる場合、どちらかのチームが4連勝する必要があります。Aチームが4連勝する確率は $(\frac{1}{2})^4$であり、Bチームが4連勝する確率は$(\frac{1}{2})^4$です。したがって、4試合目で勝負が決まる確率は、Aチームが4連勝する確率とBチームが4連勝する確率の和になります。

(2) 6試合目で勝負が決まる場合、どちらかのチームが6試合目で4勝目をあげる必要があります。例えば、Aチームが6試合目で4勝目を挙げる場合、5試合目までにAチームは3勝、Bチームは2勝している必要があります。そして、6試合目にAチームが勝つ必要があります。5試合目までにAチームが3勝2敗となる組み合わせは、二項係数を用いて${}_5C_3$通りです。したがって、Aチームが6試合目で勝負を決める確率は、${}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2}) = {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^6$です。同様に、Bチームが6試合目で勝負を決める確率は${}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^6$です。したがって、6試合目で勝負が決まる確率は、Aチームが6試合目で勝負を決める確率とBチームが6試合目で勝負を決める確率の和になります。

3. 最終的な答え

(1) 4試合目で勝負が決まる確率は、

$(\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

(2) 6試合目で勝負が決まる確率は、

${}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^6 + {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^6 = 2 \times {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^6 = 2 \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{1}{64} = 2 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{1}{64} = 2 \times 10 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{5}{16}$