2000人の有権者に対してアンケートを行ったところ、762人が現内閣を支持していた。全有権者についての支持率の99%信頼区間を求める。

## 問24

1. 問題の内容

2000人の有権者に対してアンケートを行ったところ、762人が現内閣を支持していた。全有権者についての支持率の99%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

* 標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{762}{2000} = 0.381$

* 信頼係数に対応するz値を求める。99%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。片側$\alpha/2 = 0.005$に対応するz値を求める。標準正規分布表から、$z_{0.005} \approx 2.576$となる。

* 標準誤差を計算する。

$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.381(1-0.381)}{2000}} = \sqrt{\frac{0.381 \times 0.619}{2000}} \approx \sqrt{0.0001179} \approx 0.01086$

* 信頼区間を計算する。

信頼区間は $\hat{p} \pm z \times SE$ で求められる。

下限： $0.381 - 2.576 \times 0.01086 \approx 0.381 - 0.02797 \approx 0.35303$

上限： $0.381 + 2.576 \times 0.01086 \approx 0.381 + 0.02797 \approx 0.40897$

3. 最終的な答え

全有権者についての支持率の99%信頼区間は、約(0.353, 0.409)である。

## 問25

1. 問題の内容

ビデオリサーチ社の視聴率調査で、900世帯に対して調査を行ったところ、ある番組の視聴率が10%と発表された。全視聴者に対する視聴率の90%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

* 標本比率 $\hat{p}$ は0.10である。サンプルサイズ $n = 900$ である。

* 信頼係数に対応するz値を求める。90%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。片側$\alpha/2 = 0.05$に対応するz値を求める。標準正規分布表から、$z_{0.05} \approx 1.645$となる。

* 標準誤差を計算する。

$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.10(1-0.10)}{900}} = \sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{900}} = \sqrt{\frac{0.09}{900}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$

* 信頼区間を計算する。

信頼区間は $\hat{p} \pm z \times SE$ で求められる。

下限： $0.10 - 1.645 \times 0.01 = 0.10 - 0.01645 = 0.08355$

上限： $0.10 + 1.645 \times 0.01 = 0.10 + 0.01645 = 0.11645$

3. 最終的な答え

全視聴者に対する視聴率の90%信頼区間は、約(0.084, 0.116)である。