3人でじゃんけんをする。 (1) 1回目あいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率を求める。 (2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率を求める。 (3) 2回目にはじめて1人の勝者が決まる確率を求める。

1. 問題の内容

3人でじゃんけんをする。

(1) 1回目あいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率を求める。

(2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率を求める。

(3) 2回目にはじめて1人の勝者が決まる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんであいこになる確率、勝者が1人になる確率、勝者が2人になる確率を求める。

3人の手の出し方は $3^3 = 27$ 通りある。

* あいこになる場合:

* 全員同じ手を出す場合: 3通り (グー、チョキ、パー)

* 全員違う手を出す場合: $3! = 6$ 通り (グー、チョキ、パーの組み合わせ)

よって、あいこになる確率は $\frac{3+6}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

* 勝者が1人になる場合:

勝つ手が3通り、負ける手の出し方が1通り、勝つ人が3通りなので、確率は $\frac{3 \times 1 \times 3}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

* 勝者が2人になる場合:

勝つ手が3通り、負ける手の出し方が1通り、勝つ2人の選び方が ${}_3C_2 = 3$通りなので、確率は $\frac{3 \times 1 \times 3}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

(1) 1回目あいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率:

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

(2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率:

1回目に2人勝ちになる確率は $\frac{1}{3}$。2回目に1人の勝者が決まるには、負けた1人が勝つ必要がある。

負けた1人が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ なので、確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

(3) 2回目にはじめて1人の勝者が決まる確率:

1回目があいこで2回目に1人が勝つ、または1回目に2人が勝って2回目に1人が勝つ場合を考える。この2つは排反な事象である。

1回目があいこで2回目に1人が勝つ確率は(1)より $\frac{1}{9}$。

1回目に2人が勝って2回目に1人が勝つ確率は(2)より $\frac{1}{9}$。

したがって、求める確率は $\frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9}$

(2) $\frac{1}{9}$

(3) $\frac{2}{9}$