問題は、 (I) 暗証番号の作り方、円順列、確率に関する問題と、 (II) グループ分けの問題です。 (I) (1) 0から9までの数字を使って3桁の暗証番号を作る。同じ数字を繰り返し使える場合と使えない場合の総数を求める。 (2) 5人が円形に並ぶ場合の数と、特定の2人が隣り合わない場合の数を求める。 (3) サイコロを2回投げて、出た目の和が6以下となる確率と、和が6以下だった場合に1回目の目が偶数である条件付き確率を求める。 (II) (1) 男子4人を2人ずつのグループに分ける方法の数を求める。グループに区別がある場合とない場合を求める。 (2) 8人を、男子2人と女子2人のグループに分ける方法の数を求める。 (3) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける方法の数を求める。

1. 問題の内容

問題は、

(I) 暗証番号の作り方、円順列、確率に関する問題と、

(II) グループ分けの問題です。

(I) (1) 0から9までの数字を使って3桁の暗証番号を作る。同じ数字を繰り返し使える場合と使えない場合の総数を求める。

(2) 5人が円形に並ぶ場合の数と、特定の2人が隣り合わない場合の数を求める。

(3) サイコロを2回投げて、出た目の和が6以下となる確率と、和が6以下だった場合に1回目の目が偶数である条件付き確率を求める。

(II) (1) 男子4人を2人ずつのグループに分ける方法の数を求める。グループに区別がある場合とない場合を求める。

(2) 8人を、男子2人と女子2人のグループに分ける方法の数を求める。

(3) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける方法の数を求める。

2. 解き方の手順

(I) (1)

* 同じ数字を2回以上使っても良いとき、各桁は0から9の10通りの数字を使えるので、$10 \times 10 \times 10 = 1000$ 通り。

* 同じ数字を2回以上使えないとき、1桁目は10通り、2桁目は9通り、3桁目は8通りなので、$10 \times 9 \times 8 = 720$ 通り。

(I) (2)

* 5人が円形に並ぶ並び方は、$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* AとBが隣り合う場合を考える。AとBを1つの塊として、残りの3人と合わせて4つのものを円形に並べるので、$(4-1)! = 3! = 6$ 通り。AとBの並び順は2通りあるので、$6 \times 2 = 12$ 通り。したがって、AとBが隣り合わない並び方は、$24 - 12 = 12$ 通り。

(I) (3)

* サイコロを2回投げたときの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通り。

* 和が6以下となるのは、(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1) の15通り。したがって、確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。

* 和が6以下で、1回目の目が偶数であるのは、(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2) の6通り。条件付き確率は $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

(II) (1)

* 男子4人を2人ずつの組に分けるとき、A,Bの区別のある2つの組に分ける分け方は、${}_4C_2 \times {}_2C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 6$ 通り。

* 区別のない2つの組に分ける分け方は、上記の6通りを2で割って、$\frac{6}{2} = 3$ 通り。

(II) (2)

* 8人から男子2人と女子2人を選ぶ方法を考える。男子の選び方は${}_4C_2 = 6$通り、女子の選び方も${}_4C_2 = 6$通り。したがって、組分けは $6 \times 6 = 36$ 通り。

(II) (3)

* 8人を2人ずつの4つの組に分ける。まず8人から2人を選ぶ(${}_8C_2 = 28$通り)。残りの6人から2人を選ぶ(${}_6C_2 = 15$通り)。残りの4人から2人を選ぶ(${}_4C_2 = 6$通り)。最後に残った2人は自動的に決まる。

したがって、組分けは${}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 = 28 \times 15 \times 6 = 2520$ 通り。ただし、組に区別がないので、4! = 24で割る必要がある。したがって、$\frac{2520}{24} = 105$ 通り。

3. 最終的な答え

(I) (1) アイウエ: 1000, オカキ: 720

(I) (2) クケ: 24, コサ: 12

(I) (3) シ/スセ: 5/12, ソ/タ: 2/5

(II) (1) チ: 6, ツ: 3

(II) (2) テト: 36

(II) (3) ナニヌ: 105