あるブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることがわかっている。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいにすればよいか。

1. 問題の内容

あるブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることがわかっている。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいにすればよいか。

2. 解き方の手順

まず、信頼区間の幅を求めます。問題文より、信頼区間の幅は$2 \times 20 = 40$ 時間です。

次に、99%信頼区間に対応するz値を求めます。99%信頼区間は、両側検定で有意水準が1%となるため、片側0.5%に対応するz値を求めます。これは、標準正規分布表から約2.576と読み取れます。

信頼区間の幅の公式は以下の通りです。

$2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z$ はz値、$\sigma$ は標準偏差、$n$ は標本サイズです。

この公式を使って、標本サイズ $n$ を求めます。

$40 = 2 \times 2.576 \times \frac{100}{\sqrt{n}}$

$\sqrt{n} = \frac{2 \times 2.576 \times 100}{40}$

$\sqrt{n} = \frac{515.2}{40}$

$\sqrt{n} = 12.88$

$n = (12.88)^2$

$n = 165.8944$

標本の大きさは整数でなければならないため、切り上げて166とします。

3. 最終的な答え

166