2000人の有権者に対してアンケートを取り、現内閣を支持する人が762人であった。全有権者の支持率の99%信頼区間を求める。

## 問24

1. 問題の内容

2000人の有権者に対してアンケートを取り、現内閣を支持する人が762人であった。全有権者の支持率の99%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母比率の信頼区間を求める問題である。標本比率を $\hat{p}$、サンプルサイズを $n$ とすると、母比率 $p$ の信頼区間は以下の式で近似できる。

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\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

$$$$

ここで、$\alpha$ は有意水準であり、信頼度 $1-\alpha$ に対応する。$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布における $\alpha/2$ の上側パーセント点である。今回は99%信頼区間を求めるので、$\alpha = 0.01$ となり、$z_{\alpha/2} = z_{0.005} \approx 2.576$ である。

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

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\hat{p} = \frac{762}{2000} = 0.381

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次に、信頼区間の幅を計算する。

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2. 576 \sqrt{\frac{0.381(1-0.381)}{2000}} = 2.576 \sqrt{\frac{0.381 \times 0.619}{2000}} \approx 2.576 \sqrt{0.0001178} \approx 2.576 \times 0.01085 \approx 0.02795

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したがって、信頼区間は

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0.381 \pm 0.02795

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となる。

3. 最終的な答え

全有権者についての支持率の99%信頼区間は、約 [0.353, 0.409] である。つまり、35.3%から40.9%の間である。

## 問25

1. 問題の内容

ビデオリサーチ社の視聴率調査で、900世帯を対象に行ったところ、ある番組の視聴率が10%と発表された。全視聴者に対する視聴率の90%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

問24と同様に母比率の信頼区間を求める問題である。標本比率を $\hat{p}$、サンプルサイズを $n$ とすると、母比率 $p$ の信頼区間は以下の式で近似できる。

$$$$

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

$$$$

今回は90%信頼区間を求めるので、$\alpha = 0.1$ となり、$z_{\alpha/2} = z_{0.05} \approx 1.645$ である。

標本比率 $\hat{p} = 0.10$、サンプルサイズ $n = 900$ である。

信頼区間の幅を計算する。

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1. 645 \sqrt{\frac{0.10(1-0.10)}{900}} = 1.645 \sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{900}} \approx 1.645 \sqrt{0.0001} \approx 1.645 \times 0.01 \approx 0.01645

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したがって、信頼区間は

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0.10 \pm 0.01645

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となる。

3. 最終的な答え

全視聴者に対する視聴率の90%信頼区間は、約 [0.08355, 0.11645] である。つまり、8.36%から11.65%の間である。