問題18：あるブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることが知られている。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいとらねばならないか。

1. 問題の内容

問題18：あるブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることが知られている。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいとらねばならないか。

2. 解き方の手順

まず、信頼区間の幅が与えられていることから、標本サイズを求める問題であることを認識します。母標準偏差が既知であるため、正規分布を用いた区間推定を行います。

99%信頼区間は、平均値$\mu$を中心として、

$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

で表されます。ここで、$\bar{X}$は標本平均、$\sigma$は母標準偏差、$n$は標本サイズ、$z_{\alpha/2}$は標準正規分布における$\alpha/2$パーセント点です。

99%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$となり、$\alpha/2 = 0.005$です。

$z_{0.005}$は標準正規分布表から約2.576と読み取れます。

問題文より、信頼区間の幅は±20時間以内なので、

$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 20$

が成り立つ必要があります。

与えられた値を代入すると、

$2.576 \frac{100}{\sqrt{n}} \leq 20$

となります。

この不等式を$\sqrt{n}$について解きます。

$\sqrt{n} \geq \frac{2.576 \times 100}{20}$

$\sqrt{n} \geq 12.88$

両辺を2乗して$n$を求めます。

$n \geq (12.88)^2$

$n \geq 165.8944$

標本サイズは整数でなければならないため、切り上げて$n = 166$となります。

3. 最終的な答え

標本の大きさは166以上でなければならない。