ある会社の電球の寿命の標準偏差が40時間であるとき、250個の電球の寿命を計測したところ、平均が824時間であった。このとき、全ての電球の寿命の90%信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある会社の電球の寿命の標準偏差が40時間であるとき、250個の電球の寿命を計測したところ、平均が824時間であった。このとき、全ての電球の寿命の90%信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母集団の標準偏差 $\sigma$ が既知の場合の母平均の信頼区間は、以下の式で求められます。

$[\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$

ここで、

- $\bar{x}$ は標本平均

- $\sigma$ は母集団の標準偏差

- $n$ は標本サイズ

- $z_{\alpha/2}$ は標準正規分布における $\alpha/2$ の上側確率に対応する値

この問題では、

- $\bar{x} = 824$ 時間

- $\sigma = 40$ 時間

- $n = 250$

- 信頼水準は90%なので、$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$ となり、$\alpha/2 = 0.05$

標準正規分布表または電卓を用いて、$z_{0.05}$ の値を求めます。$z_{0.05} \approx 1.645$ です。

信頼区間を計算します。

$[824 - 1.645 \frac{40}{\sqrt{250}}, 824 + 1.645 \frac{40}{\sqrt{250}}]$

$\frac{40}{\sqrt{250}} \approx \frac{40}{15.81} \approx 2.53$

$1.645 \times 2.53 \approx 4.16$

信頼区間は、

$[824 - 4.16, 824 + 4.16]$

$[819.84, 828.16]$

3. 最終的な答え

全ての電球の寿命の90%信頼区間は、[819.84, 828.16] 時間です。