平均未知、分散が16の正規母集団から100個の標本を抽出したところ、標本平均が5.7であった。母集団の平均の95%信頼区間を求める問題です。

1. 問題の内容

平均未知、分散が16の正規母集団から100個の標本を抽出したところ、標本平均が5.7であった。母集団の平均の95%信頼区間を求める問題です。

2. 解き方の手順

母分散が既知の場合の母平均の信頼区間は、以下の式で求められます。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

* $\bar{x}$は標本平均

* $z_{\alpha/2}$は信頼係数

* $\sigma$は母標準偏差

* $n$は標本サイズ

* $\alpha$は有意水準(1 - 信頼水準)

問題文より、

* $\bar{x} = 5.7$

* $\sigma^2 = 16$ (したがって、$\sigma = \sqrt{16} = 4$)

* $n = 100$

* 信頼水準は95%なので、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。よって、$\alpha/2 = 0.025$

95%信頼区間の場合、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$ です。

これらの値を上記の式に代入します。

$5.7 \pm 1.96 \frac{4}{\sqrt{100}}$

$5.7 \pm 1.96 \times \frac{4}{10}$

$5.7 \pm 1.96 \times 0.4$

$5.7 \pm 0.784$

したがって、信頼区間は $(5.7 - 0.784, 5.7 + 0.784) = (4.916, 6.484)$ となります。

3. 最終的な答え

母集団の平均の95%信頼区間は (4.916, 6.484) です。