ある会社の電球の寿命の標準偏差が40時間である。250個の電球の寿命を計測したところ、平均寿命が824時間であった。全ての電球の寿命の90%信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある会社の電球の寿命の標準偏差が40時間である。250個の電球の寿命を計測したところ、平均寿命が824時間であった。全ての電球の寿命の90%信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母集団の標準偏差 $\sigma$ が既知の場合の信頼区間は、以下の式で求められます。

信頼区間 = (標本平均 - 信頼係数 * 標準誤差, 標本平均 + 信頼係数 * 標準誤差)

ここで、

* 標本平均: $\bar{x} = 824$時間

* 母集団の標準偏差: $\sigma = 40$時間

* 標本サイズ: $n = 250$

* 信頼水準: $90\%$

まず、標準誤差を計算します。標準誤差は、標本平均の標準偏差であり、以下の式で求められます。

標準誤差 = $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

次に、信頼係数を求めます。90%信頼区間なので、有意水準 $\alpha = 1 - 0.9 = 0.1$ となります。両側検定の場合、$\alpha/2 = 0.05$ となり、標準正規分布表から、$z_{0.05} = 1.645$ が信頼係数となります。

1. 標準誤差を計算します。

標準誤差 = $\frac{40}{\sqrt{250}} = \frac{40}{15.811} \approx 2.530$

2. 信頼区間を計算します。

信頼区間の下限 = $824 - (1.645 \times 2.530) = 824 - 4.162 \approx 819.838$

信頼区間の上限 = $824 + (1.645 \times 2.530) = 824 + 4.162 \approx 828.162$

3. 最終的な答え

90%信頼区間は、(819.838, 828.162) です。 よって、すべての電球の寿命の90%信頼区間は、約 (819.8, 828.2) 時間となります。