あるブラウン管の寿命の標準偏差が100時間であるとき、平均寿命の99%信頼区間が$\pm20$時間以内になるようにするには、標本の大きさをどれくらいにしなければならないか。

1. 問題の内容

あるブラウン管の寿命の標準偏差が100時間であるとき、平均寿命の99%信頼区間が$\pm20$時間以内になるようにするには、標本の大きさをどれくらいにしなければならないか。

2. 解き方の手順

99%信頼区間は、標準正規分布において両側2.5%点に対応する値$z$を用いて表されます。99%信頼区間の場合、$z \approx 2.576$です。

信頼区間の幅は、$\pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表されます。ここで、$\sigma$は標準偏差、$n$はサンプルサイズです。問題では、信頼区間の幅が20時間以内であるように、$n$を求めます。

したがって、以下の不等式が成立します。

$z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 20$

$2.576 \times \frac{100}{\sqrt{n}} \le 20$

$\frac{257.6}{\sqrt{n}} \le 20$

$\sqrt{n} \ge \frac{257.6}{20}$

$\sqrt{n} \ge 12.88$

$n \ge (12.88)^2$

$n \ge 165.8944$

サンプルサイズは整数でなければならないため、四捨五入して$n$を求めます。

3. 最終的な答え

少なくとも166個の標本が必要です。