3人でじゃんけんをする場合の確率を求める問題です。 (1) 1回目があいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率 (2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率 (3) 2回目に初めて1人の勝者が決まる確率 の3つの確率を求めます。

1. 問題の内容

3人でじゃんけんをする場合の確率を求める問題です。

(1) 1回目があいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率

(2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率

(3) 2回目に初めて1人の勝者が決まる確率

の3つの確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1回目あいこで、2回目に1人の勝者が決まる確率

3人が出す手の組み合わせは $3^3 = 27$ 通りあります。

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、全員が異なる手を出す場合の2パターンです。

全員が同じ手を出すのは3通り（グー、チョキ、パー）。

全員が異なる手を出すのは $3! = 6$ 通り。

したがって、あいこになるのは $3 + 6 = 9$ 通り。

あいこになる確率は $9/27 = 1/3$ 。

2回目に1人の勝者が決まるのは、3人の中から1人が勝ち、残りの2人が負ける場合です。

勝つ手を1つ選び、負ける手を1つ選ぶと、勝つ人の選び方が3通り、負ける手の選び方が1通りあるので、$3 \times 1 = 3$通りです。

3人の中から1人が勝つ手の組み合わせは3通り（グーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つ）。

したがって、1人の勝者が決まるのは $3 \times 3 = 9$ 通り。

1人の勝者が決まる確率は $9/27 = 1/3$ 。

求める確率は、1回目があいこになり、2回目に1人の勝者が決まる確率なので、

$(1/3) \times (1/3) = 1/9$

(2) 1回目に2人勝ち、2回目に1人の勝者が決まる確率

1回目に2人勝ちになるのは、3人の中から2人が勝ち、1人が負ける場合です。

勝つ手を1つ選び、負ける手を1つ選ぶと、勝つ人の選び方が ${}_3C_2 = 3$通り、負ける手の選び方が1通りあるので、$3 \times 1 = 3$通りです。

2人が勝つ手の組み合わせは3通り（グーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つ）。

したがって、2人が勝つのは $3 \times 3 = 9$ 通り。

2人勝ちになる確率は $9/27 = 1/3$ 。

2回目に1人の勝者が決まるのは、先ほどと同様に $1/3$ です。

求める確率は、1回目に2人勝ちになり、2回目に1人の勝者が決まる確率なので、

$(1/3) \times (1/3) = 1/9$

(3) 2回目に初めて1人の勝者が決まる確率

これは、1回目があいこ、または2人勝ちで、2回目に1人の勝者が決まる確率です。

1回目があいこになる確率は $1/3$。

1回目に2人勝ちになる確率は $1/3$。

1回目にあいこまたは2人勝ちになる確率は $1/3 + 1/3 = 2/3$。

2回目に1人の勝者が決まる確率は $1/3$。

したがって、2回目に初めて1人の勝者が決まる確率は、

$(2/3) \times (1/3) = 2/9$

3. 最終的な答え

(1) 1/9

(2) 1/9

(3) 2/9