AさんとBさんが100回ゲームをしたところ、Aさんが60回勝ち、Bさんが40回勝った。このとき、AさんがBさんよりこのゲームが強いと言えるかを有意水準5%および1%で仮説検定する。

1. 問題の内容

AさんとBさんが100回ゲームをしたところ、Aさんが60回勝ち、Bさんが40回勝った。このとき、AさんがBさんよりこのゲームが強いと言えるかを有意水準5%および1%で仮説検定する。

2. 解き方の手順

この問題は、二項分布における片側検定の問題として解くことができます。帰無仮説は「AさんとBさんの強さは同じ（勝つ確率はそれぞれ0.5）」、対立仮説は「Aさんの方がBさんより強い（Aさんの勝つ確率は0.5より大きい）」と設定します。

* 帰無仮説 $H_0$: Aさんの勝つ確率 $p = 0.5$

* 対立仮説 $H_1$: Aさんの勝つ確率 $p > 0.5$

Aさんの勝った回数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従います。ここで $n = 100$ であり、帰無仮説の下では $p = 0.5$ となります。

検定統計量を計算します。Aさんが60回勝ったという結果が、帰無仮説のもとでどれくらい起こりにくいかを評価します。

二項分布の平均と標準偏差は次のようになります。

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

$SD(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5$

標準化された検定統計量 $z$ は次のようになります。

$z = \frac{X - E(X)}{SD(X)} = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$

有意水準5%の場合、$z$ 値の棄却域は片側検定なので $z > 1.645$ となります。有意水準1%の場合、$z$ 値の棄却域は $z > 2.33$ となります。

3. 最終的な答え

* 有意水準5%の場合: 計算された $z = 2$ は $1.645$ より大きいので、帰無仮説は棄却されます。したがって、AさんはBさんより強いと言えます。

* 有意水準1%の場合: 計算された $z = 2$ は $2.33$ より小さいので、帰無仮説は棄却されません。したがって、AさんはBさんより強いとは言えません。

**結論:**

* 有意水準5%では、AさんはBさんより強いと言える。

* 有意水準1%では、AさんはBさんより強いとは言えない。