与えられた標本データ（3.5, 3.4, 3.8, 3.6, 3.2）を用いて、以下の問いに答えます。 (1) 標本平均$\bar{X}$と標本分散$s^2$を求めます。 (2) 母平均と母分散の不偏推定量$\hat{\mu}$と$\hat{\sigma}^2$を求めます。 (3) 確率変数$T_1 = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}$と$T_2 = \frac{(n-1)(\bar{X} - \mu)^2}{S^2}$が従う確率分布を答えます。 (4) 母分散$\sigma^2 = 4$が既知の場合に、信頼水準0.95で母平均$\mu$の信頼区間を求めます。 (5) 母分散$\sigma^2$が未知の場合に、信頼水準0.95で母平均$\mu$の信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

与えられた標本データ（3.5, 3.4, 3.8, 3.6, 3.2）を用いて、以下の問いに答えます。

(1) 標本平均$\bar{X}$と標本分散$s^2$を求めます。

(2) 母平均と母分散の不偏推定量$\hat{\mu}$と$\hat{\sigma}^2$を求めます。

(3) 確率変数$T_1 = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}$と$T_2 = \frac{(n-1)(\bar{X} - \mu)^2}{S^2}$が従う確率分布を答えます。

(4) 母分散$\sigma^2 = 4$が既知の場合に、信頼水準0.95で母平均$\mu$の信頼区間を求めます。

(5) 母分散$\sigma^2$が未知の場合に、信頼水準0.95で母平均$\mu$の信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\bar{X}$と標本分散$s^2$を計算します。

$\bar{X} = \frac{3.5 + 3.4 + 3.8 + 3.6 + 3.2}{5} = \frac{17.5}{5} = 3.5$

$s^2 = \frac{(3.5-3.5)^2 + (3.4-3.5)^2 + (3.8-3.5)^2 + (3.6-3.5)^2 + (3.2-3.5)^2}{5} = \frac{0 + 0.01 + 0.09 + 0.01 + 0.09}{5} = \frac{0.2}{5} = 0.04$

(2) 母平均の不偏推定量$\hat{\mu}$は標本平均$\bar{X}$に等しく、母分散の不偏推定量$\hat{\sigma}^2$は不偏分散$s_u^2$に等しくなります。不偏分散は、標本分散に$\frac{n}{n-1}$を掛けたものです。

$\hat{\mu} = \bar{X} = 3.5$

$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2 = \frac{5}{4}(0.04) = 0.05$

$\hat{\sigma}^2 = s_u^2 = 0.05$

(3) $T_1$は標準正規分布$N(0,1)$に従います。$T_2$は自由度1のF分布に従います: $F(1, n-1)$。

(4) 母分散が既知の場合の信頼区間は、

$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

で計算されます。ここで、$z_{\alpha/2}$は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点です。

$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$なので、$\alpha/2 = 0.025$です。$z_{0.025} \approx 1.96$です。

$\sigma = \sqrt{4} = 2$なので、

$3.5 \pm 1.96 \frac{2}{\sqrt{5}} = 3.5 \pm 1.96 \frac{2}{2.236} = 3.5 \pm 1.96(0.894) = 3.5 \pm 1.75224 \approx 3.5 \pm 1.75$

信頼区間は$(3.5 - 1.75, 3.5 + 1.75) = (1.75, 5.25)$

(5) 母分散が未知の場合の信頼区間は、

$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s_u}{\sqrt{n}}$

で計算されます。ここで、$t_{\alpha/2, n-1}$は自由度$n-1$のt分布の上側$\alpha/2$パーセント点です。

$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$なので、$\alpha/2 = 0.025$です。自由度は$n-1 = 5-1 = 4$です。$t_{0.025, 4} \approx 2.776$です。

$s_u = \sqrt{0.05} \approx 0.2236$なので、

$3.5 \pm 2.776 \frac{0.2236}{\sqrt{5}} = 3.5 \pm 2.776 \frac{0.2236}{2.236} = 3.5 \pm 2.776(0.1) = 3.5 \pm 0.2776 \approx 3.5 \pm 0.28$

信頼区間は$(3.5 - 0.28, 3.5 + 0.28) = (3.22, 3.78)$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: 3.5, 標本分散: 0.04

(2) 母平均の不偏推定量: 3.5, 母分散の不偏推定量: 0.05

(3) $T_1$: 標準正規分布$N(0,1)$, $T_2$: F分布$F(1,4)$

(4) 母分散既知の場合の信頼区間: (1.75, 5.25)

(5) 母分散未知の場合の信頼区間: (3.22, 3.78)