(1) 1枚の硬貨を5回投げたとき、表がちょうど3回出る確率を求めます。 (2) 白玉8個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻すことを5回繰り返すとき、赤玉が4回以上出る確率を求めます。

1. 問題の内容

(1) 1枚の硬貨を5回投げたとき、表がちょうど3回出る確率を求めます。

(2) 白玉8個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻すことを5回繰り返すとき、赤玉が4回以上出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

硬貨を5回投げるとき、表が出る確率は$\frac{1}{2}$、裏が出る確率も$\frac{1}{2}$です。

表がちょうど3回出る確率は、二項分布に従います。

5回中3回表が出る組み合わせは、$_5C_3$通りです。

したがって、確率は次のようになります。

$_5C_3 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{5!}{3!2!} \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{1}{32} = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

(2)

白玉8個、赤玉4個が入っているので、合計12個の玉があります。

1回に赤玉が出る確率は$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$、白玉が出る確率は$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$です。

赤玉が4回以上出る確率は、4回出る確率と5回出る確率の和で求められます。

赤玉が4回出る確率は、$_5C_4 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{2}{3})^1$です。

赤玉が5回出る確率は、$_5C_5 \times (\frac{1}{3})^5 \times (\frac{2}{3})^0$です。

赤玉が4回出る確率:

$_5C_4 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

赤玉が5回出る確率:

$_5C_5 \times (\frac{1}{3})^5 \times (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$

赤玉が4回以上出る確率:

$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{16}$

(2) $\frac{11}{243}$