1枚の硬貨を何回か投げるゲームを考える。先に表が3回出るとAの勝ち、先に裏が2回出るとBの勝ちとなる。 (1) 4回目にAが勝ち、勝負がつく確率を求める。 (2) A, B それぞれの勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を何回か投げるゲームを考える。先に表が3回出るとAの勝ち、先に裏が2回出るとBの勝ちとなる。

(1) 4回目にAが勝ち、勝負がつく確率を求める。

(2) A, B それぞれの勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 4回目にAが勝ち、勝負がつくのは、4回目に表が出て、それまでの3回で表が2回、裏が1回出ている場合である。

3回のうち2回が表、1回が裏である確率は、二項定理より

$\binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

4回目に表が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、求める確率は

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$

(2)

Aが勝つのは、3回目に勝つ、4回目に勝つ、5回目に勝つ…という場合がある。

Aが3回目に勝つ確率は、3回連続で表が出る確率なので $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Aが4回目に勝つ確率は、(1)で求めた $\frac{3}{16}$

Aが5回目に勝つ確率は、4回目までに表が2回、裏が1回以下で、5回目に表が出る場合である。

4回までに表が2回、裏が1回の確率は $\binom{4}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$

4回までに表が1回、裏が0回の確率は $\binom{4}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^3 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$

4回までに表が0回、裏が0回の確率はありえない。

よって、Aが5回目に勝つ確率は $(\frac{6}{16} + \frac{4}{16}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$

Aが勝つ確率は、無限級数で表せる。

Aが勝つ確率を$P(A)$、Bが勝つ確率を$P(B)$とすると、$P(A) + P(B) = 1$が成り立つ。

Aが勝つ確率を直接計算する代わりに、Bが勝つ確率を計算する。

Bが2回目に勝つ確率は、2回連続で裏が出る確率なので$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Bが3回目に勝つ確率は、2回目までに表が0回、裏が1回で、3回目に裏が出る場合である。

2回目までに表が0回、裏が1回の確率は $\binom{2}{1}(\frac{1}{2})^1(\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、Bが3回目に勝つ確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Bが勝つ確率は、表が3回出る前に、裏が2回出る確率である。

Bが勝つパターンは以下の通りである。

BB

TBB

BTB

TBTB

BTBT

TBTTB

BTTTB

TTBB

TBTTB

BTTTB

$\frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$

Aが勝つ確率 $= \frac{1}{8} + \frac{3}{16} = \frac{5}{16}$

Bが勝つ確率 $= 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

別解:

Aが勝つのは表が3回出る場合、Bが勝つのは裏が2回出る場合。

Aが勝つ確率をP(A), Bが勝つ確率をP(B)とする。

コインを5回投げる時、表が3回以上出る確率を考える。

表が3回出る確率は$\binom{5}{3} (1/2)^5 = 10/32$

表が4回出る確率は$\binom{5}{4} (1/2)^5 = 5/32$

表が5回出る確率は$\binom{5}{5} (1/2)^5 = 1/32$

合計は$16/32 = 1/2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{16}$

(2) Aが勝つ確率: $\frac{5}{16}$, Bが勝つ確率: $\frac{11}{16}$