## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

* **問題1:** ある選挙で候補者Aに対する得票率を事前に調べるために100人の有権者を無作為に選び出したところ、56%の人が候補者Aに投票すると答えた。全有権者からの得票率の90%信頼区間の上限値を小数第4位まで求めよ。

* **問題2:** ある煙草会社が販売している製品の6個の製品のニコチン含有量を計ったところ、平均 $\bar{x} = 24.3$, 分散 $s^2 = 3.75$ であった。ニコチン含有量の分散の95%信頼区間の上限値を小数第3位まで求めよ。

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2. 解き方の手順

**問題1:**

1. 標本比率 $\hat{p}$ は0.56である。

2. 標本サイズ $n$ は100である。

3. 信頼水準は90%なので、有意水準 $\alpha$ は0.10である。

4. 片側検定であるため、$\alpha/2 = 0.05$ となる。

5. 90%信頼区間の上限を求めるので、z値を求める。$z_{\alpha} = z_{0.10} \approx 1.645$

6. 信頼区間の上限は、以下の式で計算できる。

$\hat{p} + z_{\alpha} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

7. 数値を代入する。

$0.56 + 1.645 \sqrt{\frac{0.56 \times 0.44}{100}}$

8. 計算する。

$0.56 + 1.645 \times \sqrt{0.002464}$

$0.56 + 1.645 \times 0.0496387$

$0.56 + 0.0816659$

$0.6416659$

9. 小数第4位まで求める。

0. 6417

**問題2:**

1. 標本サイズ $n$ は6である。

2. 不偏分散 $s^2$ は3.75である。

3. 信頼水準は95%なので、有意水準 $\alpha$ は0.05である。

4. 自由度は $n-1 = 6-1 = 5$ である。

5. カイ二乗分布表から、自由度5、$\alpha/2 = 0.025$ のときのカイ二乗値 $\chi^2_{0.025,5}$ を求める。$\chi^2_{0.025,5} \approx 12.832$

6. 信頼区間の上限は、以下の式で計算できる。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

7. $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ は、自由度5、$1-\alpha/2 = 0.975$ のときのカイ二乗値。$\chi^2_{0.975,5} \approx 0.831$

8. $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ は、自由度5、$\alpha/2 = 0.025$ のときのカイ二乗値。$\chi^2_{0.025,5} \approx 12.832$

9. カイ二乗分布を利用して分散の信頼区間を計算する。分散の95%信頼区間の上限は、

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}=\frac{5 \times 3.75}{0.831}$ で計算します。 分散の上限値を求める問題ですので、$\chi^2_{0.025, n-1}= 12.832$ を用いて $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}=\frac{5 \times 3.75}{12.832}$ を計算します。

1

0. 数値を代入して計算する。

$\frac{(6-1) \times 3.75}{12.832} = \frac{5 \times 3.75}{12.832} = \frac{18.75}{12.832} \approx 1.461$

1

1. 小数第3位まで求める。

1. 461

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3. 最終的な答え

* **問題1:** 0.6417

* **問題2:** 1.461