(1) 白玉4個、赤玉8個が入った袋から2個同時に取り出すとき、2個とも白玉である確率を求める。 (2) 白玉3個、赤玉7個が入った袋から3個同時に取り出すとき、白玉1個、赤玉2個である確率を求める。 (3) 4枚の数字カード1, 2, 3, 4を並べて4桁の数を作るとき、その数が奇数である確率を求める。ただし、同じカードは2度以上使わない。 (4) 10個の製品の中に2個の不良品が入っている。その中から同時に3個の製品を取り出すとき、不良品が1個だけ含まれる確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 白玉4個、赤玉8個が入った袋から2個同時に取り出すとき、2個とも白玉である確率を求める。

(2) 白玉3個、赤玉7個が入った袋から3個同時に取り出すとき、白玉1個、赤玉2個である確率を求める。

(3) 4枚の数字カード1, 2, 3, 4を並べて4桁の数を作るとき、その数が奇数である確率を求める。ただし、同じカードは2度以上使わない。

(4) 10個の製品の中に2個の不良品が入っている。その中から同時に3個の製品を取り出すとき、不良品が1個だけ含まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

全事象は、12個から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ 通り。

2個とも白玉である場合は、4個の白玉から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、確率は $\frac{6}{66} = \frac{1}{11}$。

(2)

全事象は、10個から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通り。

白玉1個、赤玉2個である場合は、3個の白玉から1個を選び、7個の赤玉から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_{3}C_1 \times _{7}C_2 = 3 \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 3 \times 21 = 63$ 通り。

したがって、確率は $\frac{63}{120} = \frac{21}{40}$。

(3)

全事象は、4枚のカードを並べる順列なので、 $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

4桁の数が奇数になるのは、一の位が1または3の場合である。

一の位が1の場合、残りの3桁は2, 3, 4を並べるので $3! = 6$ 通り。

一の位が3の場合、残りの3桁は1, 2, 4を並べるので $3! = 6$ 通り。

したがって、奇数になるのは $6 + 6 = 12$ 通り。

確率は $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$。

(4)

全事象は、10個から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通り。

不良品が1個だけ含まれる場合は、2個の不良品から1個を選び、8個の良品から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_{2}C_1 \times _{8}C_2 = 2 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 2 \times 28 = 56$ 通り。

したがって、確率は $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{11}$

(2) $\frac{21}{40}$

(3) $\frac{1}{2}$

(4) $\frac{7}{15}$