サイコロを100回投げたとき、40回から60回（両端を含む）の間で偶数が出る確率を求める問題です。ただし、$\Phi(2) = \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 0.0228$ が与えられています。

1. 問題の内容

サイコロを100回投げたとき、40回から60回（両端を含む）の間で偶数が出る確率を求める問題です。ただし、$\Phi(2) = \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 0.0228$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたときに偶数が出る確率 $p$ を求めます。サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6なので、偶数の目は2, 4, 6の3つです。したがって、$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$ です。

次に、100回サイコロを投げたとき、偶数が出る回数の期待値 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ を計算します。

期待値 $\mu = np = 100 \times 0.5 = 50$

分散 $\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

標準偏差 $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{25} = 5$

次に、求める確率 $P(40 \le X \le 60)$ を、標準正規分布に近似するために、連続修正を行います。つまり、$P(39.5 \le X \le 60.5)$ を計算します。

標準化変数 $Z$ を計算します。

$Z_1 = \frac{39.5 - \mu}{\sigma} = \frac{39.5 - 50}{5} = \frac{-10.5}{5} = -2.1$

$Z_2 = \frac{60.5 - \mu}{\sigma} = \frac{60.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$

したがって、$P(40 \le X \le 60) \approx P(-2.1 \le Z \le 2.1)$ です。

これは、$P(Z \le 2.1) - P(Z \le -2.1)$ と書き換えられます。

また、$P(Z \le -2.1) = P(Z \ge 2.1)$ であり、これは与えられた $\Phi(2.1) = \int_{2.1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ と一致します。$\Phi(2.1)$ の値は問題文には与えられていないので、$\Phi(2) = 0.0228$　を利用すると仮定します。（問題文にはΦ(2)の値しか与えられていないため。）

$P(-2 \le Z \le 2) = 1 - 2\Phi(2) = 1 - 2 \times 0.0228 = 1 - 0.0456 = 0.9544$

3. 最終的な答え

0. 9544