白玉5個と黒玉2個が入っている袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出された2個の玉に含まれている白玉の個数を $X$ とします。$X$ の確率分布が与えられており、確率 $p_1$ と $p_2$ の値を求める必要があります。

## 【1】の問題

1. 問題の内容

白玉5個と黒玉2個が入っている袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出された2個の玉に含まれている白玉の個数を $X$ とします。$X$ の確率分布が与えられており、確率 $p_1$ と $p_2$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$X$ が取りうる値は 0, 1, 2 です。それぞれの確率を考えます。

* $p_1$ は $X=0$ の確率、つまり2個とも黒玉を取り出す確率です。

全事象は7個から2個を取り出す組み合わせなので $_7C_2$ です。

2個とも黒玉である組み合わせは $_2C_2$ です。

したがって、

$p_1 = \frac{_2C_2}{_7C_2} = \frac{1}{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}} = \frac{1}{21}$

* $p_2$ は $X=1$ の確率、つまり白玉1個と黒玉1個を取り出す確率です。

白玉1個を取り出す組み合わせは $_5C_1$ で、黒玉1個を取り出す組み合わせは $_2C_1$ です。

したがって、

$p_2 = \frac{_5C_1 \times _2C_1}{_7C_2} = \frac{5 \times 2}{21} = \frac{10}{21}$

3. 最終的な答え

$p_1 = \frac{1}{21}$

$p_2 = \frac{10}{21}$

## 【2】の問題

1. 問題の内容

大小2個のさいころを同時に投げます。大きいさいころの出る目を $X$ 、小さいさいころの出る目を $Y$ とします。$E(X), E(Y), E(X+Y), E(3X-2Y)$ をそれぞれ求める必要があります。

2. 解き方の手順

* $E(X)$ は、さいころの目の期待値なので、

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

* 同様に、$E(Y)$ もさいころの目の期待値なので、

$E(Y) = \frac{7}{2}$

* 期待値の線形性より、$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7$

* 同様に、$E(3X-2Y) = 3E(X) - 2E(Y) = 3 \times \frac{7}{2} - 2 \times \frac{7}{2} = \frac{21}{2} - \frac{14}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{7}{2}$

$E(Y) = \frac{7}{2}$

$E(X+Y) = 7$

$E(3X-2Y) = \frac{7}{2}$