大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出目を $X$ 、小さいサイコロの出目を $Y$ とします。このとき、 $E(X) = 8/9$ 、 $E(Y) = 10/11$ であり、$E(X+Y)$ と $E(3X-2Y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出目を $X$ 、小さいサイコロの出目を $Y$ とします。このとき、 $E(X) = 8/9$ 、 $E(Y) = 10/11$ であり、$E(X+Y)$ と $E(3X-2Y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$E(X+Y)$ を求めます。期待値の線形性より、

$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

$E(X) = 8/9$ 、 $E(Y) = 10/11$ を代入すると、

$E(X+Y) = \frac{8}{9} + \frac{10}{11}$

$E(X+Y) = \frac{8 \times 11 + 10 \times 9}{9 \times 11} = \frac{88 + 90}{99} = \frac{178}{99}$

次に、$E(3X-2Y)$ を求めます。期待値の線形性より、

$E(3X-2Y) = 3E(X) - 2E(Y)$

$E(X) = 8/9$ 、 $E(Y) = 10/11$ を代入すると、

$E(3X-2Y) = 3 \times \frac{8}{9} - 2 \times \frac{10}{11} = \frac{8}{3} - \frac{20}{11}$

$E(3X-2Y) = \frac{8 \times 11 - 20 \times 3}{3 \times 11} = \frac{88 - 60}{33} = \frac{28}{33}$

3. 最終的な答え

$E(X+Y) = \frac{178}{99}$

$E(3X-2Y) = \frac{28}{33}$