母平均が50、母標準偏差が8の母集団から大きさ16の標本を抽出する時、標本平均$\bar{X}$が48以上になる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

母平均が50、母標準偏差が8の母集団から大きさ16の標本を抽出する時、標本平均$\bar{X}$が48以上になる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、標本平均$\bar{X}$の分布を求めます。母集団が正規分布に従うので、標本平均$\bar{X}$も正規分布に従います。標本平均$\bar{X}$の平均は母平均と同じ50であり、標本平均$\bar{X}$の分散は、母分散を標本サイズで割ったもの、すなわち$\frac{8^2}{16}=\frac{64}{16}=4$となります。したがって、標本平均$\bar{X}$は$N(50,4)$に従うとみなせます。この時、標準偏差は$\sqrt{4}=2$となります。

次に、$\bar{X}$を標準化します。標準化された変数$Z$は、$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$で与えられます。ここで、$\mu=50$は母平均、$\sigma=8$は母標準偏差、$n=16$は標本サイズです。従って、標準化された変数$Z$は$N(0,1)$に従います。

$\bar{X} \geq 48$に対応する$Z$の値を計算します。

$Z \geq \frac{48-50}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

求める確率は$P(\bar{X} \geq 48) = P(Z \geq -1)$です。

$P(Z \geq -1) = P(-1 \leq Z \leq 0) + P(Z \geq 0)$

$P(-1 \leq Z \leq 0)$は標準正規分布表から0.34134と分かります。$P(Z \geq 0) = 0.5$なので、

$P(Z \geq -1) = 0.34134 + 0.5 = 0.84134$

3. 最終的な答え

0. 84134

ア：8

イ：4

ウ：50

エ：2

オ：-1

カ：0.5

キ：0.84134