白玉5個と黒玉2個が入っている袋から2個の玉を同時に取り出す。取り出された2個の玉に含まれる白玉の個数をXとする。Xの確率分布が与えられており、確率$p_1$と$p_2$を求める。

1. 問題の内容

白玉5個と黒玉2個が入っている袋から2個の玉を同時に取り出す。取り出された2個の玉に含まれる白玉の個数をXとする。Xの確率分布が与えられており、確率$p_1$と$p_2$を求める。

2. 解き方の手順

まず、全ての確率の合計は1であることから、以下の式が成り立つ。

$p_1 + p_2 + \frac{10}{21} = 1$

$p_1 + p_2 = 1 - \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$

次に、$p_1$を計算する。X=0は、2個とも黒玉である確率を表す。全部で7個の玉があり、そのうち2個が黒玉である。2個とも黒玉を取り出す組み合わせの数は、$_2C_2 = 1$。全ての組み合わせの数は $_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$。したがって、

$p_1 = \frac{_2C_2}{_7C_2} = \frac{1}{21}$

次に、$p_2$を計算する。X=1は、白玉1個と黒玉1個を取り出す確率を表す。白玉1個を取り出す組み合わせの数は$_5C_1 = 5$。黒玉1個を取り出す組み合わせの数は$_2C_1 = 2$。したがって、白玉1個と黒玉1個を取り出す組み合わせの数は $5 \times 2 = 10$。全ての組み合わせの数は$_7C_2 = 21$。したがって、

$p_2 = \frac{_5C_1 \times _2C_1}{_7C_2} = \frac{5 \times 2}{21} = \frac{10}{21}$

最後に、求めた$p_1$と$p_2$の値を確認する。

$p_1 + p_2 = \frac{1}{21} + \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$

これは最初に求めた式と一致する。

3. 最終的な答え

$p_1 = \frac{1}{21}$

$p_2 = \frac{10}{21}$