大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出目をX、小さいサイコロの出目をYとする。 $E(X) = \frac{8}{9}$、$E(Y) = \frac{10}{11}$ のとき、$E(X+Y)$と$E(3X-2Y)$を求める問題。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出目をX、小さいサイコロの出目をYとする。

$E(X) = \frac{8}{9}$、$E(Y) = \frac{10}{11}$ のとき、$E(X+Y)$と$E(3X-2Y)$を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、期待値の線形性を用いる。

$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ (a, bは定数)

$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{8}{9} + \frac{10}{11} = \frac{88 + 90}{99} = \frac{178}{99}$

$E(3X-2Y) = 3E(X) - 2E(Y) = 3 \times \frac{8}{9} - 2 \times \frac{10}{11} = \frac{8}{3} - \frac{20}{11} = \frac{88 - 60}{33} = \frac{28}{33}$

3. 最終的な答え

$E(X+Y) = \frac{178}{99}$

$E(3X-2Y) = \frac{28}{33}$