大小2個のサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出目を $X$、小さいサイコロの出目を $Y$ とするとき、$X+Y$ と $3X - 2Y$ の期待値を求めます。

1. 問題の内容

大小2個のサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出目を $X$、小さいサイコロの出目を $Y$ とするとき、$X+Y$ と $3X - 2Y$ の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

サイコロの出目の期待値は、各出目の値とその確率の積の和で求められます。

サイコロの出目は1から6までで、それぞれの確率は $1/6$ なので、

$X$ の期待値 $E[X]$ と $Y$ の期待値 $E[Y]$ はどちらも等しく、

$$E[X] = E[Y] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$$

となります。

次に、$X+Y$ の期待値 $E[X+Y]$ を求めます。期待値の線形性より、

$$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$$

$E[X] = E[Y] = 3.5$ を代入すると、

$$E[X+Y] = 3.5 + 3.5 = 7$$

次に、$3X-2Y$ の期待値 $E[3X-2Y]$ を求めます。期待値の線形性より、

$$E[3X-2Y] = 3E[X] - 2E[Y]$$

$E[X] = E[Y] = 3.5$ を代入すると、

$$E[3X-2Y] = 3(3.5) - 2(3.5) = 10.5 - 7 = 3.5$$

3. 最終的な答え

$X+Y$ の期待値は 7 です。

$3X-2Y$ の期待値は 3.5 です。