9人の生徒を、(1) 5人、2人、2人の3つの部屋に入れる方法の数と、(2) 5人のグループ1つと2人のグループ2つに分ける方法の数を求めます。

1. 問題の内容

9人の生徒を、(1) 5人、2人、2人の3つの部屋に入れる方法の数と、(2) 5人のグループ1つと2人のグループ2つに分ける方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 部屋Aに5人、部屋Bに2人、部屋Cに2人に入れる方法

まず、9人の中から部屋Aに入れる5人を選びます。これは $_9C_5$ 通りです。

次に、残りの4人の中から部屋Bに入れる2人を選びます。これは $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2人は自動的に部屋Cに入ります。これは $_2C_2=1$ 通りです。

したがって、部屋A、B、Cに入れる方法は、

$_9C_5 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 126 \times 6 \times 1 = 756$通りです。

(2) 5人1グループ、2人2グループに分ける方法

まず、9人の中から5人のグループを選びます。これは $_9C_5$ 通りです。

次に、残りの4人の中から2人のグループを選びます。これは $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2人で最後のグループを作ります。これは $_2C_2=1$ 通りです。

ただし、2人のグループは区別がないので、2つの2人グループの選び方の順序を考慮する必要があります。2!で割る必要があります。

したがって、5人1グループ、2人2グループに分ける方法は、

$\frac{_9C_5 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{2} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = \frac{756}{2} = 378$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 756通り

(2) 378通り