1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めよ。 (1) 1,2,3,5回目に素数の目が出て、4回目に素数でない目が出る確率 (2) 素数の目がちょうど4回出る確率 (3) 素数の目が4回以上出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めよ。

(1) 1,2,3,5回目に素数の目が出て、4回目に素数でない目が出る確率

(2) 素数の目がちょうど4回出る確率

(3) 素数の目が4回以上出る確率

2. 解き方の手順

(1) サイコロの目は1から6まであり、そのうち素数は2, 3, 5の3つである。したがって、素数の目が出る確率は $3/6 = 1/2$ である。素数でない目が出る確率も $1 - 1/2 = 1/2$ である。

1,2,3,5回目に素数の目が出て、4回目に素数でない目が出る確率は、それぞれの確率の積で計算できる。

$(1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) = (1/2)^5 = 1/32$

(2) 5回のうちちょうど4回素数の目が出る確率は、二項分布で考える。

素数の目が出る確率を $p = 1/2$ 、素数でない目が出る確率を $q = 1/2$ とする。

5回中4回素数の目が出る組み合わせは $_5C_4 = 5$ 通りである。

したがって、求める確率は

$_5C_4 * p^4 * q^1 = 5 * (1/2)^4 * (1/2)^1 = 5 * (1/2)^5 = 5/32$

(3) 素数の目が4回以上出る確率は、4回出る確率と5回出る確率の和である。

4回出る確率は(2)で求めた $5/32$ である。

5回とも素数の目が出る確率は $(1/2)^5 = 1/32$ である。

したがって、求める確率は $5/32 + 1/32 = 6/32 = 3/16$ である。

3. 最終的な答え

(1) $1/32$

(2) $5/32$

(3) $3/16$