1個のサイコロを振ったとき、出た目を4で割った余りを$X$とします。 $X=1$となる確率と、$X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを振ったとき、出た目を4で割った余りを$X$とします。

$X=1$となる確率と、$X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X=1$となる確率を求める。

サイコロの目は1から6まであり、それぞれが出る確率は$\frac{1}{6}$です。

$X=1$となるのは、出た目が1または5のときです。

1を4で割った余りは1、5を4で割った余りは1です。

したがって、$X=1$となる確率は$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

次に、$X$の期待値を求める。

$X$は4で割った余りなので、取りうる値は0, 1, 2, 3です。

それぞれの確率を計算します。

- $X=0$となるのは、出た目が4のときと、出た目が0になることはないので出た目が8のときです。出た目が4のときのみなので確率は$\frac{1}{6}$

- $X=1$となるのは、出た目が1または5のときで、確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- $X=2$となるのは、出た目が2または6のときで、確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- $X=3$となるのは、出た目が3のときで、確率は$\frac{1}{6}$

期待値は、それぞれの値と確率の積の和で求められます。

$E[X] = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$X=1$となる確率は $\frac{1}{3}$

$X$の期待値は $\frac{3}{2}$