$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 $\sin\theta + \cos\theta = 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

$\sin\theta + \cos\theta = 1$

2. 解き方の手順

$\sin\theta + \cos\theta = 1$ を解くために、左辺を合成します。

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$

よって、

$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \dots$ です。

この範囲で $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は、

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ または $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\theta = 0$ または $\theta = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$