関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。ただし、$f(x)$ は周期関数であり、定義域は $-2 \le x \le 2$ で、 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$ です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。ただし、$f(x)$ は周期関数であり、定義域は $-2 \le x \le 2$ で、

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開を求めます。

周期 $L = 4$ となります。フーリエ級数は以下の形で表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(\frac{n \pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{L})]$

ここで、$a_0, a_n, b_n$ はフーリエ係数であり、以下のように計算されます。

$a_0 = \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) dx$

$a_n = \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) \cos(\frac{n \pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) \sin(\frac{n \pi x}{L}) dx$

今回の問題では、$L=4$ なので、

$a_0 = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 dx + \int_{0}^{2} 2 dx) = \frac{1}{2} ([-2x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2}) = \frac{1}{2} (0 - 4 + 4 - 0) = 0$

$a_n = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \cos(\frac{n \pi x}{4}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \cos(\frac{n \pi x}{4}) dx + \int_{0}^{2} 2 \cos(\frac{n \pi x}{4}) dx)$

$= \frac{1}{2} ([-2 \cdot \frac{4}{n\pi} \sin(\frac{n \pi x}{4})]_{-2}^{0} + [2 \cdot \frac{4}{n\pi} \sin(\frac{n \pi x}{4})]_{0}^{2})$

$= \frac{1}{2} (-\frac{8}{n\pi} (0 - \sin(-\frac{n \pi}{2})) + \frac{8}{n\pi} (\sin(\frac{n \pi}{2}) - 0)) = \frac{1}{2} (-\frac{8}{n\pi} \sin(\frac{n \pi}{2}) + \frac{8}{n\pi} \sin(\frac{n \pi}{2})) = 0$

$b_n = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{n \pi x}{4}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \sin(\frac{n \pi x}{4}) dx + \int_{0}^{2} 2 \sin(\frac{n \pi x}{4}) dx)$

$= \frac{1}{2} ([2 \cdot \frac{4}{n\pi} \cos(\frac{n \pi x}{4})]_{-2}^{0} + [-2 \cdot \frac{4}{n\pi} \cos(\frac{n \pi x}{4})]_{0}^{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{8}{n\pi} (\cos(0) - \cos(-\frac{n \pi}{2})) - \frac{8}{n\pi} (\cos(\frac{n \pi}{2}) - \cos(0)))$

$= \frac{4}{n\pi} (1 - \cos(\frac{n \pi}{2}) - \cos(\frac{n \pi}{2}) + 1) = \frac{8}{n\pi} (1 - \cos(\frac{n \pi}{2}))$

したがって、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{n\pi} (1 - \cos(\frac{n \pi}{2})) \sin(\frac{n \pi x}{4})$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{n\pi} (1 - \cos(\frac{n \pi}{2})) \sin(\frac{n \pi x}{4})$