与えられた微分方程式 $y'' + y = \cos x$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y'' + y = \cos x$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求めます。

次に、非同次方程式 $y'' + y = \cos x$ の特殊解を求めます。

最後に、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解を足し合わせることで、非同次方程式の一般解を得ます。

(1) 同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求める。

特性方程式は $r^2 + 1 = 0$ となります。

この方程式の解は $r = \pm i$ です。

したがって、同次方程式の一般解は

$y_h(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x$

となります。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

(2) 非同次方程式 $y'' + y = \cos x$ の特殊解を求める。

$\cos x$ は同次方程式の解に含まれているため、特殊解を $y_p(x) = Ax \cos x + Bx \sin x$ と仮定します。

$y_p'(x) = A \cos x - Ax \sin x + B \sin x + Bx \cos x$

$y_p''(x) = -A \sin x - A \sin x - Ax \cos x + B \cos x + B \cos x - Bx \sin x = -2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x$

$y_p'' + y_p = (-2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x) + (Ax \cos x + Bx \sin x) = -2A \sin x + 2B \cos x$

$y_p'' + y_p = \cos x$ となるためには、 $-2A = 0$ かつ $2B = 1$ である必要があります。

したがって、$A = 0$ かつ $B = \frac{1}{2}$ です。

よって、特殊解は

$y_p(x) = \frac{1}{2} x \sin x$

となります。

(3) 非同次方程式の一般解を求める。

非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和として与えられます。

したがって、一般解は

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \frac{1}{2} x \sin x$

となります。

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \frac{1}{2} x \sin x$