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与えられた二つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$ (2) $\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

解析学不定積分積分置換積分有利化
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を計算します。
(1) ∫1+x1−xdx\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx
(2) ∫1x+1x−1x+1dx\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx

2. 解き方の手順

(1) ∫1+x1−xdx\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx の解き方
まず、根号の中の分母を有利化します。
1+x1−x=(1+x)(1+x)(1−x)(1+x)=(1+x)21−x2=1+x1−x2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}
したがって、
∫1+x1−xdx=∫1+x1−x2dx=∫11−x2dx+∫x1−x2dx\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx
I1=∫11−x2dxI_1 = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx と I2=∫x1−x2dxI_2 = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx とおきます。
I1=arcsin⁡(x)+C1I_1 = \arcsin(x) + C_1
I2I_2 について、u=1−x2u = 1-x^2 とおくと、du=−2xdxdu = -2x dx, xdx=−12dux dx = -\frac{1}{2} du
I2=∫x1−x2dx=∫−12udu=−12∫u−12du=−12u1212+C2=−u+C2=−1−x2+C2I_2 = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = -\sqrt{u} + C_2 = -\sqrt{1-x^2} + C_2
したがって、
∫1+x1−xdx=arcsin⁡(x)−1−x2+C\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + C
(2) ∫1x+1x−1x+1dx\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx の解き方
u=x−1x+1u = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} とおくと、u2=x−1x+1u^2 = \frac{x-1}{x+1}
u2(x+1)=x−1u^2(x+1) = x-1
u2x+u2=x−1u^2 x + u^2 = x - 1
x(1−u2)=1+u2x(1-u^2) = 1+u^2
x=1+u21−u2x = \frac{1+u^2}{1-u^2}
dx=2u(1−u2)−(1+u2)(−2u)(1−u2)2du=2u−2u3+2u+2u3(1−u2)2du=4u(1−u2)2dudx = \frac{2u(1-u^2) - (1+u^2)(-2u)}{(1-u^2)^2} du = \frac{2u-2u^3+2u+2u^3}{(1-u^2)^2} du = \frac{4u}{(1-u^2)^2} du
また、x+1=1+u21−u2+1=1+u2+1−u21−u2=21−u2x+1 = \frac{1+u^2}{1-u^2} + 1 = \frac{1+u^2+1-u^2}{1-u^2} = \frac{2}{1-u^2}
したがって、
∫1x+1x−1x+1dx=∫121−u2u4u(1−u2)2du=∫1−u224u2(1−u2)2du=∫2u21−u2du=∫−2(1−u2)+2−21−u2du\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \int \frac{1}{\frac{2}{1-u^2}} u \frac{4u}{(1-u^2)^2} du = \int \frac{1-u^2}{2} \frac{4u^2}{(1-u^2)^2} du = \int \frac{2u^2}{1-u^2} du = \int \frac{-2(1-u^2) + 2 - 2}{1-u^2} du
=∫−2+21−u2du=∫−2+11+u+11−udu = \int -2 + \frac{2}{1-u^2} du = \int -2 + \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} du
=−2u+ln⁡∣1+u∣−ln⁡∣1−u∣+C=−2u+ln⁡∣1+u1−u∣+C= -2u + \ln |1+u| - \ln |1-u| + C = -2u + \ln |\frac{1+u}{1-u}| + C
=−2x−1x+1+ln⁡∣1+x−1x+11−x−1x+1∣+C=−2x−1x+1+ln⁡∣x+1+x−1x+1−x−1∣+C= -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |\frac{1+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{1-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}| + C = -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}| + C
=−2x−1x+1+ln⁡∣(x+1+x−1)2(x+1)−(x−1)∣+C=−2x−1x+1+ln⁡∣x+1+x−1+2x2−12∣+C= -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}{(x+1)-(x-1)}| + C = -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |\frac{x+1+x-1+2\sqrt{x^2-1}}{2}| + C
=−2x−1x+1+ln⁡∣x+x2−1∣+C = -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |x+\sqrt{x^2-1}| + C

3. 最終的な答え

(1) arcsin⁡(x)−1−x2+C\arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + C
(2) −2x−1x+1+ln⁡∣x+x2−1∣+C-2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |x+\sqrt{x^2-1}| + C

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