四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$ のとき、$\angle CFE$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$ のとき、$\angle CFE$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ひし形の性質より、$\angle ABC = \angle ADC = 48^\circ$ である。

また、ひし形ABCDの向かい合う角は等しいので、$\angle ABC = \angle ADC = 48^\circ$ 。

ひし形の隣り合う角の和は180度であるので、

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$ 。

正方形AEFDの性質より、$\angle ADF = 90^\circ$ 。

よって、$\angle CDF = \angle ADC - \angle ADF = 48^\circ - 90^\circ$ は計算できない。

$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$。

次に、正方形AEFDに着目すると、$\angle DAE = 90^\circ$。

ひし形の性質より、$\angle BAC = \angle CAD$ であるので、$\angle BAC = 132^\circ / 2 = 66^\circ$。

ここで、$\angle EAB = \angle BAD - \angle DAE = 132^\circ - 90^\circ$ではない。

ひし形の性質から、$AB = BC = CD = DA$ である。

正方形の性質から、$AE = EF = FD = DA$ である。

したがって、$AD = AE = AB$ なので、三角形ABEは二等辺三角形である。

よって、$\angle AEB = \angle ABE = 48^\circ$ なので、$\angle EAB = 180^\circ - 48^\circ - 48^\circ = 84^\circ$。

$\angle EAD = 90^\circ$ なので、$\angle BAD = \angle EAB + \angle EAD = 84^\circ + 90^\circ$ ではない。

$AD = CD$ であり、$AD = FD$ なので、$CD = FD$ である。

したがって、三角形CDFは二等辺三角形である。

$\angle ADC = 48^\circ$ であるので、$\angle ADF = 90^\circ$ より、$\angle CDF = |48^\circ - 90^\circ| = 42^\circ$。

$\angle CFD = \angle DCF$ であるので、$\angle CFD = (180^\circ - 42^\circ) / 2 = 138^\circ / 2 = 69^\circ$。

最後に、$\angle CFE = 180^\circ - \angle CFD = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$

3. 最終的な答え

111°