あるお菓子屋さんでキャンディを売っていて、キャンディの包み紙を5枚集めるとキャンディ1個と交換できます。 (1) キャンディを84個買うと、交換する分も合わせて何個のキャンディを食べることができますか。 (2) 全部で120個のキャンディを食べるには、キャンディを何個買えばよいですか。

1. 問題の内容

あるお菓子屋さんでキャンディを売っていて、キャンディの包み紙を5枚集めるとキャンディ1個と交換できます。

(1) キャンディを84個買うと、交換する分も合わせて何個のキャンディを食べることができますか。

(2) 全部で120個のキャンディを食べるには、キャンディを何個買えばよいですか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、84個のキャンディを買うと、包み紙が84枚手に入ります。

これらの包み紙で交換できるキャンディの個数を計算します。

$84 \div 5 = 16$ あまり 4

つまり、16個のキャンディと交換できます。

さらに、16個のキャンディと交換すると、包み紙が16枚手に入ります。

これらの包み紙で交換できるキャンディの個数を計算します。

$16 \div 5 = 3$ あまり 1

つまり、3個のキャンディと交換できます。

さらに、3個のキャンディと交換すると、包み紙が3枚手に入ります。

これらの包み紙と最初のあまりの4枚を合わせると、7枚になります。

$7 \div 5 = 1$ あまり 2

つまり、1個のキャンディと交換できます。

合計で、$84 + 16 + 3 + 1 = 104$ 個のキャンディを食べることができます。

(2)

買うキャンディの個数を$x$個とします。

$x$個のキャンディを買うと包み紙が$x$枚手に入ります。

包み紙$x$枚で$\frac{x}{5}$個のキャンディと交換できます。

しかし、$\frac{x}{5}$が整数とは限らないので、少し考え方を変えます。

$x$個のキャンディを買うと$x$枚の包み紙が手に入り、それを使ってキャンディと交換し、さらに包み紙が手に入って…というのを繰り返します。

最終的に食べるキャンディの個数が120個になるように、$x$を求めます。

$x + \frac{x}{5} + \frac{x}{25} + ... = 120$

$x(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + ...) = 120$

括弧の中は等比数列の和なので、

$x \times \frac{1}{1-\frac{1}{5}} = 120$

$x \times \frac{1}{\frac{4}{5}} = 120$

$x \times \frac{5}{4} = 120$

$x = 120 \times \frac{4}{5} = 24 \times 4 = 96$

別の考え方として、

もしキャンディを5個買うと、1個もらえるので、実質4個買うと1個もらえると考えることができます。

120個のキャンディを食べるためには、$x$個のキャンディを買う必要があるとすると、

$\frac{5}{4}x = 120$

$x = 120 \times \frac{4}{5} = 96$

3. 最終的な答え

(1) 104個

(2) 96個