以下の3つの問題を解く必要があります。 (1) 式の計算: $(4\sqrt{2}+2\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3\sqrt{5})$ (2) 分母の有理化: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ (3) 式の計算: $\sqrt{10}(\sqrt{20}-\sqrt{2})$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解く必要があります。

(1) 式の計算: $(4\sqrt{2}+2\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3\sqrt{5})$

(2) 分母の有理化: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

(3) 式の計算: $\sqrt{10}(\sqrt{20}-\sqrt{2})$

2. 解き方の手順

(1) 式の計算

括弧を外し、同類項をまとめます。

$(4\sqrt{2}+2\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3\sqrt{5}) = 4\sqrt{2}+2\sqrt{5}-\sqrt{2}+3\sqrt{5} = (4\sqrt{2}-\sqrt{2})+(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}) = 3\sqrt{2}+5\sqrt{5}$

(2) 分母の有理化

分母の共役複素数($\sqrt{6}+\sqrt{2}$)を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{6-2} = \frac{6+2\sqrt{12}+2}{4} = \frac{8+2\sqrt{4\cdot3}}{4} = \frac{8+4\sqrt{3}}{4} = 2+\sqrt{3}$

(3) 式の計算

$\sqrt{10}$ を分配法則を使って括弧の中に掛けます。

$\sqrt{10}(\sqrt{20}-\sqrt{2}) = \sqrt{10}\sqrt{20}-\sqrt{10}\sqrt{2} = \sqrt{200}-\sqrt{20} = \sqrt{100\cdot2}-\sqrt{4\cdot5} = 10\sqrt{2}-2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2}+5\sqrt{5}$

(2) $2+\sqrt{3}$

(3) $10\sqrt{2}-2\sqrt{5}$