6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作るとき、以下の整数は何個作れるか。 (1) 整数 (2) 偶数 (3) 奇数 (4) 43000より大きい整数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作るとき、以下の整数は何個作れるか。

(1) 整数

(2) 偶数

(3) 奇数

(4) 43000より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数

5桁の整数を作る場合、先頭の数字は0であってはいけません。

全体の並べ方は、6個から5個選んで並べる順列なので、$_6P_5 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$通りです。

しかし、この中には先頭が0である場合が含まれます。

先頭が0の場合、残りの5個から4個を選んで並べるので、$_5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通りです。

したがって、5桁の整数は、$720 - 120 = 600$個作れます。

(2) 偶数

5桁の整数が偶数であるためには、末尾の数字が0, 2, 4である必要があります。

i) 末尾が0のとき：残りの5個から4個を選んで並べるので、$_5P_4 = 120$通り。

ii) 末尾が2または4のとき：末尾の選び方は2通り。先頭は0以外の4通り。残りの3桁は残った4個から3個を選んで並べるので、$_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

したがって、この場合は、$2 \times 4 \times 24 = 192$通り。

合計すると、$120 + 192 = 312$個の偶数が作れます。

(3) 奇数

5桁の整数が奇数であるためには、末尾の数字が1, 3, 5である必要があります。

末尾の選び方は3通り。

先頭は0以外の数字を選ばないといけないので、場合分けが必要です。

i) 末尾が1, 3, 5のいずれかで、かつ先頭が0でない場合：

末尾は3通り。先頭は0と末尾で使った数字以外の4通り。残りの3桁は残った4個から3個を選んで並べるので、$_4P_3 = 24$通り。

したがって、$3 \times 4 \times 24 = 288$個の奇数が作れます。

(4) 43000より大きい整数

i) 先頭が4の場合：43000より大きいためには、43xxx, 45xxxの形である必要があります。

・43xxx：残りの数字は0, 1, 2, 5なので、3桁は0, 1, 2, 5の中から3個を選んで並べるので、$_4P_3 = 24$通り。

・45xxx：残りの数字は0, 1, 2, 3なので、3桁は0, 1, 2, 3の中から3個を選んで並べるので、$_4P_3 = 24$通り。

ii) 先頭が5の場合：残りの4桁は0, 1, 2, 3, 4の中から4個を選んで並べるので、$_5P_4 = 120$通り。

合計すると、$24 + 24 + 120 = 168$通りですが、43000より大きい整数を求める問題なので、先頭が43xxxの形に絞って考えます。

43000より大きい数を作るには、43000, 43012, 43015, 43021, 43025, 43051, 43052, ... などがあります。

千の位を固定して、百の位で場合分けして考えます。

・430xx: 残りは1, 2, 5なので、1, 2, 5から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・431xx: 残りは0, 2, 5なので、0, 2, 5から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・432xx: 残りは0, 1, 5なので、0, 1, 5から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・435xx: 残りは0, 1, 2なので、0, 1, 2から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

次に万の位が45の時を考える。

・450xx: 残りは1, 2, 3なので、1, 2, 3から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・451xx: 残りは0, 2, 3なので、0, 2, 3から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・452xx: 残りは0, 1, 3なので、0, 1, 3から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

・453xx: 残りは0, 1, 2なので、0, 1, 2から2つ選んで並べる。$_3P_2 = 6$

5xxxx: 5から始まる数は$_5P_4 = 120$

$6+6+6+6+6+6+6+6+120 = 48+120=168$

43000より大きい数は144

3. 最終的な答え

(1) 整数: 600個

(2) 偶数: 312個

(3) 奇数: 288個

(4) 43000より大きい整数: 144個