あるお菓子屋さんでキャンディを売っており、キャンディの包み紙を5枚集めるとキャンディ1個と交換できます。 (1) キャンディを84個買ったとき、交換する分も合わせて何個のキャンディを食べることができますか。 (2) 全部で120個のキャンディを食べるには、キャンディを何個買えばよいですか。

1. 問題の内容

あるお菓子屋さんでキャンディを売っており、キャンディの包み紙を5枚集めるとキャンディ1個と交換できます。

(1) キャンディを84個買ったとき、交換する分も合わせて何個のキャンディを食べることができますか。

(2) 全部で120個のキャンディを食べるには、キャンディを何個買えばよいですか。

2. 解き方の手順

(1) 84個のキャンディを買うと、包み紙が84枚手に入ります。5枚集めると1個と交換できるので、交換できる回数は$84 \div 5 = 16$ あまり 4。つまり、16個のキャンディを交換できます。さらに、交換した16個のキャンディの包み紙が16枚手に入るので、再び交換できます。$16 \div 5 = 3$ あまり 1。つまり、3個のキャンディを交換できます。さらに、交換した3個のキャンディの包み紙が3枚手に入ります。最初の4枚と合わせて7枚になるので、$7 \div 5 = 1$ あまり 2。つまり、1個のキャンディを交換できます。合計で$84 + 16 + 3 + 1 = 104$個のキャンディを食べることができます。

(2) 買う個数を$x$とします。5個の包み紙で1個のキャンディと交換できるので、食べたキャンディの個数は$x + \frac{x}{5} + \frac{x}{25} + ...$となります。この式は無限等比級数なので、$120 = x + \frac{x}{5 - 1} = x + \frac{x}{4}$となります。したがって、$120 = \frac{5x}{4}$なので、$x = \frac{120 \times 4}{5} = 96$。120個のキャンディを食べるには96個のキャンディを買えば良いです。

別の解法として、キャンディを5個買うと6個食べられる、つまり、キャンディを食べる効率は6/5倍になります。したがって、全部で120個のキャンディを食べるには、$120 \div \frac{6}{5} = 120 \times \frac{5}{6} = 100$個のキャンディを最初に買う必要があります。ただし、100個の包み紙では20個のキャンディしか交換できないので、全部で120個食べるには100個では足りません。

キャンディを$x$個買えば良いとすると、$x + \frac{x}{5}$が120より少し大きければ良い、という考え方もあります。

$x$個買ったときの、合計キャンディ数を$f(x)$とすると、$f(x) = x + \lfloor \frac{x}{5} \rfloor + \lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{5} \rfloor}{5} \rfloor + ...$となります。

$x = 90$のとき、$f(x) = 90 + 18 + 3 + 0 = 111$

$x = 95$のとき、$f(x) = 95 + 19 + 3 + 0 = 117$

$x = 96$のとき、$f(x) = 96 + 19 + 3 + 0 = 118$

$x = 97$のとき、$f(x) = 97 + 19 + 3 + 0 = 119$

$x = 98$のとき、$f(x) = 98 + 19 + 3 + 1 = 121$

$x = 99$のとき、$f(x) = 99 + 19 + 3 + 1 = 122$

したがって、98個買う必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 104個

(2) 98個