電圧10Vで充電された電気容量 $1.0 \times 10^{-3} \mathrm{F}$ のコンデンサーと自己インダクタンス $1.6 \times 10^{-2} \mathrm{H}$ のコイルを接続した回路において、スイッチを閉じたときに回路に流れる振動電流について、(1) 電気振動の周波数を求め、(2) 振動電流の最大値を求めよ。ただし、$\pi = 3.14$ とし、有効数字は2桁とする。

1. 問題の内容

電圧10Vで充電された電気容量 $1.0 \times 10^{-3} \mathrm{F}$ のコンデンサーと自己インダクタンス $1.6 \times 10^{-2} \mathrm{H}$ のコイルを接続した回路において、スイッチを閉じたときに回路に流れる振動電流について、(1) 電気振動の周波数を求め、(2) 振動電流の最大値を求めよ。ただし、$\pi = 3.14$ とし、有効数字は2桁とする。

2. 解き方の手順

(1) 電気振動の周波数 $f$ は、以下の式で与えられます。

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f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}

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ここで、$L = 1.6 \times 10^{-2} \mathrm{H}$、$C = 1.0 \times 10^{-3} \mathrm{F}$、$\pi = 3.14$ を代入します。

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f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{1.6 \times 10^{-2} \times 1.0 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{1.6 \times 10^{-5}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.02512} \approx 39.8 \mathrm{Hz}

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有効数字2桁で表すと、40 Hzとなります。

(2) 振動電流の最大値 $I_{max}$ は、コンデンサーに蓄えられたエネルギーが全てコイルに蓄えられたときのエネルギーと等しくなることから求められます。コンデンサーに蓄えられたエネルギー $U_C$ は、

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U_C = \frac{1}{2} C V^2

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コイルに蓄えられたエネルギー $U_L$ は、

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U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2

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エネルギー保存則より、$U_C = U_L$ なので、

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\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2

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I_{max} = \sqrt{\frac{C}{L}} V

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ここで、$C = 1.0 \times 10^{-3} \mathrm{F}$、$L = 1.6 \times 10^{-2} \mathrm{H}$、$V = 10 \mathrm{V}$ を代入します。

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I_{max} = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-2}}} \times 10 = \sqrt{\frac{1}{16}} \times 10 = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \mathrm{A}

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有効数字2桁で表すと、2.5 Aとなります。

3. 最終的な答え

(1) 40 Hz

(2) 2.5 A