電圧 $20 V$ で充電された電気容量 $C = 1.0 \times 10^{-3} F$ のコンデンサーと自己インダクタンス $L = 1.6 \times 10^{-2} H$ のコイルを接続したLC回路について、以下の2つの問に答える問題です。ただし、$\pi = 3.14$とし、有効数字2桁で答える必要があります。 (1) 電気振動の周波数 $f$ を求めよ。 (2) 振動電流の最大値 $I_0$ を求めよ。

1. 問題の内容

電圧 $20 V$ で充電された電気容量 $C = 1.0 \times 10^{-3} F$ のコンデンサーと自己インダクタンス $L = 1.6 \times 10^{-2} H$ のコイルを接続したLC回路について、以下の2つの問に答える問題です。ただし、$\pi = 3.14$とし、有効数字2桁で答える必要があります。

(1) 電気振動の周波数 $f$ を求めよ。

(2) 振動電流の最大値 $I_0$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) LC回路の電気振動の周波数 $f$ は、以下の式で求められます。

$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

与えられた値を代入します。

$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{1.6 \times 10^{-2} \times 1.0 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{1.6 \times 10^{-5}}}$

$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 4.0 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.02512} \approx 39.8 Hz$

有効数字2桁で答えるので、 $f = 40 Hz$ となります。

(2) 振動電流の最大値 $I_0$ は、コンデンサーに蓄えられたエネルギーが全てコイルに蓄えられた時のエネルギーと等しいことから求められます。コンデンサーに蓄えられたエネルギー $U_C$ は、

$U_C = \frac{1}{2}CV^2$

コイルに蓄えられたエネルギー $U_L$ は、

$U_L = \frac{1}{2}LI_0^2$

これらが等しいので、

$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_0^2$

$I_0 = \sqrt{\frac{C}{L}}V$

与えられた値を代入すると、

$I_0 = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-2}}} \times 20 = \sqrt{\frac{1}{16}} \times 20 = \frac{1}{4} \times 20 = 5.0 A$

3. 最終的な答え

(1) $40 Hz$

(2) $5.0 A$