$(\sqrt{2x^3})'$ を計算してください。つまり、関数 $\sqrt{2x^3}$ の導関数を求めてください。

1. 問題の内容

$(\sqrt{2x^3})'$ を計算してください。つまり、関数 $\sqrt{2x^3}$ の導関数を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2x^3}$ を指数を使って書き換えます。

$\sqrt{2x^3} = (2x^3)^{1/2}$

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を使います。

$y = (2x^3)^{1/2}$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = 2x^3$ とおくと、$y = u^{1/2}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2}(2x^3)^{-1/2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(2x^3)^{-1/2} \cdot 6x^2 = \frac{6x^2}{2\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}$

さらに、式を整理するために、$x^2 = x\sqrt{x}$ とし、$x > 0$ と仮定すると、

$\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^2}{\sqrt{2}x\sqrt{x}} = \frac{3x}{\sqrt{2x}} = \frac{3x}{\sqrt{2}\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

さらに、$x>0$を仮定して、$\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2x}}{2}$と変形できます.

$\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^{2 - 3/2}}{\sqrt{2}} = \frac{3x^{1/2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2x}}{2}$