不等式 $-2x^2 + x + 1 < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $-2x^2 + x + 1 < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ をかけます。これにより、不等号の向きが変わります。

$2x^2 - x - 1 > 0$

次に、左辺の二次式を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$

したがって、不等式は次のようになります。

$(2x + 1)(x - 1) > 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めるには、$2x + 1 = 0$ と $x - 1 = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

$x - 1 = 0$ より $x = 1$

次に、数直線を使い、$x = -\frac{1}{2}$ と $x = 1$ を境界として、不等式 $(2x + 1)(x - 1) > 0$ が成り立つ範囲を調べます。

- $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$2x + 1 < 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$(2x + 1)(x - 1) > 0$ となります。

- $-\frac{1}{2} < x < 1$ のとき、$2x + 1 > 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$(2x + 1)(x - 1) < 0$ となります。

- $x > 1$ のとき、$2x + 1 > 0$ かつ $x - 1 > 0$ なので、$(2x + 1)(x - 1) > 0$ となります。

したがって、不等式 $(2x + 1)(x - 1) > 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$ です。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$