与えられた4x4行列の行列式の値を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & 0 & -2 & -1 \\ 9 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 9 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式の値を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & 0 & -2 & -1 \\

9 & 3 & 1 & -1 \\

3 & -1 & 3 & -1 \\

-1 & 1 & 1 & 9

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

第一行を基準にして、他の行の第一列の要素を0にすることを目指します。

第二行から第一行の4.5倍を引きます (R2 -> R2 - 4.5 * R1)。

第三行から第一行の1.5倍を引きます (R3 -> R3 - 1.5 * R1)。

第四行に第一行の0.5倍を加えます (R4 -> R4 + 0.5 * R1)。

新しい行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix}

2 & 0 & -2 & -1 \\

0 & 3 & 10 & 3.5 \\

0 & -1 & 6 & 0.5 \\

0 & 1 & 0 & 8.5

\end{vmatrix}$

次に、第一列に関して余因子展開を行います。

$2 \cdot \begin{vmatrix}

3 & 10 & 3.5 \\

-1 & 6 & 0.5 \\

1 & 0 & 8.5

\end{vmatrix}$

次に、この3x3行列の行列式を計算します。

第三行を基準にして余因子展開を行います。

$2 \cdot [1 \cdot \begin{vmatrix}

10 & 3.5 \\

6 & 0.5

\end{vmatrix} + 8.5 \cdot \begin{vmatrix}

3 & 10 \\

-1 & 6

\end{vmatrix}]$

行列式を計算します。

$2 \cdot [1 \cdot (10 \cdot 0.5 - 3.5 \cdot 6) + 8.5 \cdot (3 \cdot 6 - 10 \cdot (-1))]$

$2 \cdot [1 \cdot (5 - 21) + 8.5 \cdot (18 + 10)]$

$2 \cdot [-16 + 8.5 \cdot 28]$

$2 \cdot [-16 + 238]$

$2 \cdot [222]$

$444$

3. 最終的な答え

444