$x^2 + 3(a+b)x + 2a^2 + 4ab + 2b^2$ を因数分解してください。

はい、承知いたしました。3つの問題がありますので、それぞれについて解答を説明します。

**問題(98)**

1. 問題の内容

$x^2 + 3(a+b)x + 2a^2 + 4ab + 2b^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $2a^2 + 4ab + 2b^2$ を因数分解します。

$2a^2 + 4ab + 2b^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2) = 2(a+b)^2$

したがって、与えられた式は

$x^2 + 3(a+b)x + 2(a+b)^2$

これは、$x$ に関する2次式なので、$(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定します。このとき、$A+B = 3(a+b)$ かつ $AB = 2(a+b)^2$ となる $A$ と $B$ を見つけます。

$A = (a+b)$、 $B = 2(a+b)$ とすると、$A+B = (a+b) + 2(a+b) = 3(a+b)$、 $AB = (a+b) \cdot 2(a+b) = 2(a+b)^2$ となるので、条件を満たします。

したがって、$x^2 + 3(a+b)x + 2(a+b)^2 = (x + (a+b))(x + 2(a+b)) = (x+a+b)(x+2a+2b)$

3. 最終的な答え

$(x+a+b)(x+2a+2b)$

**問題(99)**

1. 問題の内容

$(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

$(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2 = (x-1)(x+4)(x-2)(x+2) + 2x^2$

$= (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 4) + 2x^2$

$= x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 4x^2 - 12x + 16 + 2x^2$

$= x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 12x + 16$

3. 最終的な答え

$x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 12x + 16$

**問題(100)**

1. 問題の内容

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

因数分解の公式として、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ が知られています。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$