与えられた分数の和を計算する問題です。 $ \frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)} $

1. 問題の内容

与えられた分数の和を計算する問題です。

$\frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)}$

2. 解き方の手順

各分数を部分分数分解します。

一般に、$\frac{2}{(x)(x+2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$ が成り立ちます。

$\frac{2}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1}$

$\frac{2}{(a+1)(a+3)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3}$

$\frac{2}{(a+3)(a+5)} = \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5}$

これらの部分分数分解を元の式に代入すると、

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5}$

となります。ここで、$-\frac{1}{a+1}$ と $\frac{1}{a+1}$、$-\frac{1}{a+3}$ と $\frac{1}{a+3}$ がそれぞれ打ち消しあうため、式は以下のように簡略化されます。

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+5}$

これをさらに計算すると、

$\frac{(a+5) - (a-1)}{(a-1)(a+5)} = \frac{a+5-a+1}{(a-1)(a+5)} = \frac{6}{(a-1)(a+5)}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{(a-1)(a+5)}$